画数：基于思维可视化的分数教学

林晓

【摘要】数学是思维的体操。发展思维是核心素养背景下数学教育的关键诉求，将思维可视化运用到数学教学中，可以实现零散知识系统化、隐性思维显性化、知识建构模型化。将大脑中的思维“画”出来（“画数”），可以让数学知识更容易被理解、被记忆，也可以发展学生的数学思维，提升数学学习的能动性。

【关键词】思维可视化 画数 图示及图示组合 分数教学

数学是思维的体操，发展思维是核心素养背景下数学教育的关键诉求。教师应调动学生的多重感知，让学生参与思维发生、发展与表达的全过程，让思维“看得见”。思维可视化是指以图示或图示组合的方式，把原本不可见的思维结构、思考路径及方法呈现出来，使其清晰可见的过程。将思维可视化运用到数学教学中，可以实现零散知识系统化、隐性思维显性化、知识建构模型化。数学学习中，将大脑中的思维“画”出来（“画数”），可以让数学知识更容易被理解、被记忆，也可以发展学生的数学思维，提升数学学习的能动性。

《认识一个整体的几分之一》是苏教版小学数学三年级下册《认识分数》单元中的一课。之前学生已经积累了一个物体的几分之一的分数知识，后续还将学习分数的意义等知识，从而构建完整的分数知识体系。在两次执教的过程中，笔者改变设计初衷，利用思维可视化的理念，将关注点从“知识层”迈入到“思维层”，教与学的目标从“学会”升华到“会学”。

【第一次试教】

（一）教学例题1

提问：把一个桃平均分给2只小猴，每只小猴分得这个桃的几分之几？猴妈妈带来一盘桃，平均分给2只小猴呢？

追问：如果这盘桃有6个桃子，怎样表示这盘桃的二分之一呢？有4个桃呢？8个桃呢？

比较：每盘桃的个数不同，为什么都可以用二分之一来表示？

小结：虽然每盘桃个数不同，但只要把一盘桃看作一个整体，平均分成2份，每份就是这盘桃的二分之一。

（二）教学例题2

提问：猴妈妈带来的这盘桃有6个，平均分给3只小猴，每只小猴分得这盘桃的几分之几？

指出：把6个桃看成一个整体，平均分成3份，每份是这盘桃的三分之一。

与例1比较：都是把6个桃平均分，为什么前面每份用二分之一表示，这里用三分之一表示？

说明：一盘桃，平均分成2份，每份是它的二分之一;平均分成3份，每份就是它的三分之一。平均分的份数不同，得到的分数也不同。

（三）教学“试一试”

提问：这里有一盘桃12个，你能平均分成几份？每份是它的几分之一？

比较：都是把12个桃平均分，为什么表示每一份的分数不同？

观察：平均分的份数和表示每份的分数，你有什么发现？

小结：把一盘桃看成一个整体，平均分成几份，每份就是它的几分之一。

【问题发现】

第一次试教，教师试图通过动手操作、观察比较等方式帮助学生认识一个整体的几分之一，学生在精准引导之下逐步掌握知识，一切显得顺理成章。然而，“为什么要把这些物体看成一个整体平均分”的认知需要，“怎样用简洁的数学语言来描述平均分的过程”的学习重点没有突破。

（一）学生被动地思考，思维未真正发生

无论是把6个桃看作一个整体平均分，还是把4个桃、8个桃看作一个整体平均分，都是既定的教学内容，学生被动地思考、被动地接受，生成性资源较少，思维未得到真正的发生。

（二）学生低阶地思考，更何谈高阶思维

学生尚未对“一个整体的几分之一”这一知识进行结构化的梳理，知识呈散点状，知识间的联系未形成。学生为了学习而学习，为了思考而思考，思维含量不高，思维效能不明显。

【第二次试教】

（一）问题引领，引发思考

出示：1/2。提问：谁来介绍这个数？

提问：1/2是分数，是在平均分的过程中得到的。我们可以把什么平均分得到1/2呢？

生1：把一个苹果平均分成2份，每份是这个苹果的二分之一。

生2：把一个长方形平均分成2份，每份是这个长方形的二分之一。

生3：把一根1米长的彩带平均分成2份，每份是这根彩带的二分之一。

指出：把一个物体、一个图形平均分成2份，每份就是它的二分之一。

（二）主动探究，自主建构

1.首次建构

（1）直观感受

引导：猴妈妈上山摘桃子。这篮桃子（用布蒙住）要分给2只小猴，每个小猴分得多少？谁来猜一猜，这篮桃子有几个？

生1：4个。

生2：10个。

生3：双数个。

出示：6个桃。提问：篮子里有6个桃，把这篮桃平均分给2只小猴，每人分得几个，是这篮桃的幾分之几呢？

用“○”代替桃子圈一圈、分一分。

说明：把6个桃看作一个整体，平均分成2份，每份是这篮桃的二分之一。

……

（2）举一反三

提问：猴妈妈继续摘桃子。这篮桃子（用布蒙住）还是平均分给2只小猴。这篮桃还可能有几个？每只小猴分得几分之几呢？请你动手试一试。

呈现学生思考结果并形成思维图（见图1）。

第一次比较：每篮桃子的个数不同，为什么都可以用二分之一来表示？

指出：每篮桃的个数不同，只要把它看作一个整体，平均分成2份，每份都是这篮桃的二分之一。

2.再次建构

（1）积累表象

引导：还是这篮桃子（用布蒙住）我们还能平均分给几只小猴，每只小猴分得这篮桃的几分之一呢？

呈现学生交流结果并形成鱼骨图（见图2）。

（2）分析抽象

观察并讨论（第二次比较）：

①都是把6个桃看作一个整体平均分，为什么有时用1/2表示，有时又用1/3表示？

②都是12个桃，表示每一份的分数为什么不同？

交流得出结论：平均分的份数不同，得到的分数也不同。

（3）演绎深化

引导：把12个桃看作一个整体平均分成4份，每份是1/4;平均分成6份，每份是1/6。12个桃你还可以平均分成几份？又能得到什么分数呢？

生1：把12个桃看作一个整体平均分成3份，每份是这个整体的1/3。

生2：把12个桃看作一个整体平均分成12份，每份是这个整体的1/12。

……

呈現树状图（图3），第三次比较：观察平均分的过程，你有什么发现？

小结：把一篮桃看成一个整体，平均分成几份，每份是它的几分之一。

追问：我们还可以把什么看作一个整体平均分？

（三）回顾反思，小结学法（略）

【教学反思】

学生所需要的不是定义的分数，而是“行为的分数”，即通过大量的操作活动如分一分、画一画、说一说等，帮助学生深入理解一个整体的几分之一。“画数”，用直观的图示表征抽象的思维，在动手操作、合作交流中展现思维发生、发展的过程，在语言表达中外化数学思维。“画数”，成为学生理解数学、表达数学的“锚”。

（一）以“发展思维”为深层目标，让学生“画”出学习过程

思维是人类所具有的高级认识活动。如何让内隐的思维过程外显化，画数是简洁、易行的方法之一，有助于学生表征思维、教师“观察”思维。教学时，首先给出已识的1/2，用画数的方式表示一个整体的1/2，让学生明确2个桃、4个桃、6个桃……都可以看成一个整体平均分成2份，每一份就是这个整体的1/2。接着，给出一个“蒙着布”的篮子，让学生充分想象具体表征，用画数的方式表示不同的整体平均分后得到的不同的几分之一，了解“平均分的份数不同，得到的分数也不同”。最后，利用生成性资源继续思考“12个桃看作一个整体平均分后还能得到几分之一”这一问题，用画数的方式表示出12个桃1/2、1/3、1/4……让学生明确“把一篮桃看成一个整体，平均分成几份，每份就是它的几分之一”。

（二）以“设计图示”为效能手段，让学生“画”懂学习重点

图示是学生思维的窗口。图示的直观性与思维的结构性、严密性、概括性结合起来，就能让抽象复杂的思维过程一目了然，同时给简明直观的图示赋予丰富的思维与灵魂。教学时，结合三个核心问题的教学，充分利用学生的生成性资源，呈现了三张图示及图示组合（思维导图、鱼骨图、树状图），让学生经历了知识从具体到抽象、从一般到特殊的过程，从而促进知识的网络化形成、思维的结构化推进。

（三）以“合作探究”为课堂形式，让学生“画”清学习方法

合作是学生学习的重要方式。基于思维可视化的“画数”，还能为合作探究提供有效支持：师生、生生、小组内、小组间都可以借助图示进行思维交流与思维碰撞。教学中，结合三个核心问题的教学，设计以独立思考、画数为前提的交流活动，让学生完整建构“一个整体的几分之一”这一知识，同时合作探究也超越了数学学科本位，能让这种有效的学习策略，经过多次强化（实践运用），成为可被内化的自主学习的能力。

“头脑不是一个要被填满的容器，而是一把需要被点燃的火把。”学与教的思维可视化策略，是能够实现思维发展的重要途径。在思维可视化的过程中，学生的学习情感走向积极、学习方式走向合作探究、图示能力走向创造，思维方法也从单向走向多元，从而使思维能力有效发展、思维品质有效提升、思维力体系逐步完善。