传递函数的幅角定义探讨

陈凤祥，孙泽昌，赵治国

(同济大学汽车学院，新能源汽车工程中心，上海 201804)

0 引言

诸多经典自动控制原理的教材中对传递函数频率特性的幅角定义十分模糊甚至不准确，如教材[1]和教材[2]定义成

其中，G(jω)=U(ω)+jV(ω)

文献[3]尽管没有显式定义过幅角的具体形式，但是在公式的推导过程中也应用到了该结果。具体如下:

本文通过定义初探来分析这种定义的合理性。

1 定义初探

幅角y=arctan(x)的值域为(－π/2，π/2)，而∠G(jω)的值原则上至少在(－π，π)是没有任何限制的，显然式(1)的定义是存在缺陷的。

[例1]考察传递函数 G(jω)=1/(jTω －1)的Nyquist曲线:

故曲线是位于图1所示的第三象限的半圆中。

图1 1/(jTω－1)的Nyquist曲线

可见∠G(jω)∊(－π，－π/2)，若用式(1)则得

它显然不符上述结果。由图可知，正确的计算结果应该是

[例2]:求传递函数 G(jω)=1/(1+2ωj)(1+ ωj)的幅角

根据定义∠G(jω)=arctan[－3ω/(1 －2ω2)]∊(－π/2，π/2)，而实际上根据复数的乘法原理可以得到∠G(jω)= －arctan2ω －arctanω ∊(－π，0)。通过画Nyquist曲线，可以发现后者是正确的，前者是错误的。

既然这样的定义存在缺陷，又为何没有引起大家的正视呢?原因在于当G1(jω)=1/(jTω+1)或G2(jω)=jτω +1时，它的计算结果是正确的。因为，此时∠G1(jω)和∠G2(jω)正好落在(-π/2，π/2)范围内，也就是说当幅角落在(-π/2，π/2)时，定义式(1)的计算结果是正确的;另一方面，G(jω)=1/(jTω－1)是一个非最小相位系统。这样的系统往往在控制论入门级教材中，很少会在课堂上分析其相频特性和计算幅角。

对于高阶系统而言，由于其幅角并没有完全落在(-π/2，π/2)内，因此采用式(1)同样也是得不到正确的结果。但这些教材对于高阶系统的幅角求取的结果且是正确的:因为这些教材恰恰并未采用式(1)，而是利用复数的乘法原理以及传递函数为有理分式的性质进行了相关计算;而且，他们只对如下形式的传递函数幅角进行了计算: