基本思想，小学数学教学的重要指向

周红琴

摘 要：2011版的《义务教育数学课程标准》提出“四基“的概念，其中基本思想对于小学数学教学来说有着先导性的意义。实践表明，对基本思想的理解要紧扣”基本“和”思想“两个关键词，在教学实践中要重视其指导性作用的发挥。基本思想要成为学生的直觉，还需要通过强化数学抽象、数学推理与数学建模的教学，进而演变成认识一般问题的抽象、概括与建模能力。

关键词：小学数学；基本思想；双基；四基

2011版的《义务教育数学课程标准》给出了“四基”的概念，即在传统基础知识与基本技能的基础上，增添了基本思想与基本活动经验两个重要表述。传统的双基在小学数学教学中起到了极为重要的作用，已经成为中国基础教育的一个特色，而对于新增加的基本思想与基本活动经验，近年来也有不少专家与一线教师做出了重要的探究。笔者以为，要想让新增加的基本思想与基本活动经验像传统的双基一样，在小学数学教育中起到重要的指导作用，就必须对这两个概念做出超越概念本身的理解，尤其是要结合教学实际，丰富其教育理解，生成符合一线教师所需要的实践经验。近年来，笔者对此进行了不断的探究，取得了一些认识。本文试以“基本思想”为例，谈谈笔者的理解与实践。

■一、基本思想的理论理解，重在基本与思想两个关键词

基本思想这一概念只有放到小学数学教学的具体情境中，才会有其小学数学教学的意义。对于小学数学教学而言，基本思想不应当是抽象的甚至是空洞的理论，而应当紧紧围绕“基本”与“思想”两个关键词，并结合小学数学教学的具体实践去理解并实施。

从小学数学教学的具体情境来看，“思想”应当有三个角度的理解：一是数学抽象；二是数学推理；三是数学建模。思想之所以能够成为思想，关键在于其能在整个数学学习的过程中发挥一以贯之的作用。众所周知的是，小学数学教学是以基本的数与形为基础的，用数学思想来统领数与形的教学，就意味着要从小学生的实际生活中寻找数与形的原型，并对其进行数学抽象，然后在数学推理的基础之上建立数学模型，从而让学生获得一个能够用数学去发现问题、分析问题并解决问题的思维基础或者说工具基础。

而从“基本”这一关键词来看，笔者是这样理解的：思想意味着在小学数学教学的过程中，要超越具体的知识教学，以达到让学生进入建立在知识建构基础之上的方法境界或思维境界。请注意，这里笔者所强调的是超越而不是忽视，是因为笔者意识到只有重视知识教学（其实呼应了“四基”当中的“双基”），学生的思想才有源头活水。也只有重视了这一教学思路，“基本”二字才能真正得到贯彻落实。

譬如在长方体体积（苏教版小学数学六年级上册）的教学中，要让学生得到“长方体的体积=长×宽×高，就必须给学生提供一个可供分析的具体形象。苏教版教材上是在提供了体积为1立方厘米的小正方体的基础上，向学生提供了一个由十二个小立方体组成的大长方体，然后让学生在1立方厘米的基础上去建构大长方体的体积认识，学生自然会在最基本的四则运算的基础上，借助于生活经验去得出12立方厘米的认知结果。这还不是唯一的教学过程，事实上教材还设计了变式的教学思路让学生自己去搭建不同形状的长方体，这是一个非常出色的教学设计，其看起来是丰富学生的学习形式，让学生通过亲身体验去获得丰富的长方体的体积认知，实际上却是在用变式的心理学要诀，让学生在形式不同、实质相同的重复认知当中获得非常清晰的长方体体积认识。事实也证明，绝大部分学生通过这样的学习过程，确实可以顺利地构建出长方体体积的公式。

从基本思想的角度来看，这个过程让学生在具体的体验基础之上进行数学抽象，即从一个个具体的长方体，到思维中构建出来的任意长方体；让学生从一个事例向若干个事例进行数学推理，以发现长方体体积的一般规律；让学生建立起数学模型就是任意长方体在思维中构建出来的形象，以及随之生成的长方体公式。经过这样的学习过程，学生在遇到长方体及其体积问题时，自然就会浮现出长方体的体积公式，从而也就形成一种数学直觉。笔者以为，这个数学直觉正是基本思想演绎的结果。

■二、基本思想的实践探究，重在其对教学实践的指导性

本思想之于教师而言，应当成为一种很自觉的教学意识，也就是说，只有当基本思想作为教师在教学设计之始就开始考虑的问题时，其才能够真正发挥其基本思想的作用。

譬如教“数“的概念，在小学数学中，数是一个既形象又抽象的概念，说其形象，是因为小学生在进入义务教育之前，就已经接触数的概念，甚至还有相当一部分学生初步接触了数的加减运算等。但如果仅仅满足于此，笔者以为还不是真正的”数“的教学。只有当教师在设计本课时，心中不仅有小学阶段数的学习与运算的概念，同时还有整数、分数、小数等概念，甚至还有代数、函数等概念，这个时候教师心中的关于数的形象才是丰满且立体的。有了这样的认识，教师在课堂上向学生传递数的概念的时候，就不会再是孤立的数及运算，还会有一种向学生注入思想的教学心理。以最简单的10以内的数的相加减教学为例，这是小学一年级的内容，属于”基本知识“，相应的运算则属于”基本技能“。如果仅仅从”双基“的角度出发，那本内容的教学将十分简单。但如果还注重”基本思想“（当然也包括基本活动经验），那本课的教学就会多出许多有意思的环节出来。比如说笔者在教学中就设计了这样的几个环节：一是让学生到生活中寻找10以内与数相关的生活原型。结果学生寻找出了一只手5个手指，两只手10个手指的例子；寻找出了家里有爸爸妈妈两个人，另加爷爷奶奶两个人的例子；还寻找出了家里三个房间，每个房间都有1张床的例子。在这样的实际例子中，都存在着数学抽象的基础，在数学抽象的过程中，教师要引导学生认识到，生活中数不仅仅是以1、2、3……的符号存在着，更应当理解为通过阿拉伯数字这样的符号，来描述生活中与数相关的对象，这样，数与数量这两个重要概念就会被学生所内化，学生所获得的也就不只是”双基“而是”四基“了。

当然，这里还有更多的教学细节需要注意。如学生在从若干个用“一”来描述的对象中抽象出数字1时，从若干个由“五”来描述的对象中抽象出数字5时，学生所获得的恰恰是一种“量的多少”与“数的多少”的一一对应的关系，在这种关系对应的过程中，学生所收获的就是对“数”与“量”的认识，就是用“数”来描述“量”的意识，就是一种缄默于心的关于数和量的认识以及由之衍生的数量计算，从而为后面的四则运算打下基础。事实上，当学生后来能够直觉性地反应出6大于5、7小于8时，这种认识已经超越了基于生活经验基础上的认识，这种认识已经具有了数与量的基因，已经真正属于数学认知的范畴，而非生活认知的范畴。

基本思想作为小学数学教师的对象，作为引导小学数学教师更新对自身所从事的数学教学的认识，作为产生指导性作用的有效载体，对其内涵与外延的理解需要进一步深入。笔者以为，这种深入过程，本质上也是作为“四基“之一的”基本思想“在数学教师的认识当中不断深化的过程。

■三、基本思想的学生理解，重在思想在学生思维中生根

数学思想作为一个教学范畴的概念时，其是不需要在学生思维当中存在的，也就是说学生不必建立数学思想的认识。但是，数学思想作为一种教学对象或者说教学要求，是必须面向学生的，只有学生建立起关于基本思想认识（以缄默知识的形态存在），才能说基本思想成为指引学生进一步进行有效数学学习的思想。

那么，如何让基本思想成为一种有效的学生角度的理解呢？笔者以为关键在于教师的引导。小学数学作为一种带有启蒙性质的抽象知识的教学，需要教师的有效引导，而引导的有效与否，又取决于教师的引导策略。笔者的实践表明，这个过程中还是要从基本思想的基本内容出发，着重做好三个方面：

一是引导学生学会抽象。这个上面已经多次强调，此处不赘述。

二是引导学生学会概括。概括是极为重要的思维能力，也是数学学习当中必需的能力。作为一种基础性能力，其形成关键在于学生能够处于异求同或者同求异的情境当中，只有当教师以变式的思想给学生提供形非神似的情境时，学生才会具有分析与归纳的动力，而只有有了这样的动力，概括才有可能发生，有了概括才有可能形成概括能力。从概念的角度来看，数学推理隶属概括，强调概括的意思是要让学生能够在数学推理的基础上生成对非数学事例的概括能力，这是能力延伸的一种表现。

三是引导学生重视建模。数学建模的特点在于能够将数学对象用模型来表述，事实上这不仅仅是数学问题解决所需要的一种能力，也是生活问题解决所需要的能力。对于小学生来说，真正需要解决的生活问题并不是很多，但从长远来看，从基本思想的本义来看，建模有其极端重要性。因此在数学问题得到解决之后，引导学生思考问题何以得到解决，是建模意识形成的重要途径。同样，这一过程一般来说是隐性的，让学生生成意识即可。

综上所述，小学数学教学中，从双基到四基，演变的不仅仅是概念，更是小学数学教师对数学教学的理解，是数学教学的静悄悄的革命。