三自由度并联机床动力学响应研究*

董 旭，高铁红

(1.北华航天工业学院 机电工程学院，河北 廊坊 065000；2.河北工业大学 机械工程学院，天津 300130)

0 引言

并联运动机床具有高刚度、结构稳定、动态性能良好、机床结构简单、机床模块化程度高、运动惯性小等优点，具有良好的应用前景[1]。并联机床工作性能分析可以从几何精度、运动精度、静态性能、动态性能、热性能等几个方面进行研究，而机床在工作过程中，机械结构承受静态载荷和各种随时间变化的动态载荷，机床的动态性能直接影响到加工产品质量。因此在设计与优化机床结构时研究其动力学响应具有重要意义。

机床动态性能分析主要包括模态分析、谐响应分析、瞬态分析、谱分析等。刘超峰等[2]对一种高速立式加工中心主轴箱进行了谐响应分析，得到了主轴箱在简谐力作用下的动刚度。李俊帅等[3]对一种新型混联机床在各种位姿下进行了静刚度分析、模态分析、谐响应分析，找到了为保持机床具有良好静动态性能而应避免达到的极限位置。刘成颖等[4]应用有限元法对某机床整机结构进行了动力学分析，而后对薄弱件立柱进行了结构优化设计，提出了基于拓扑优化、筋板选择、尺寸优化设计方法。Mehran等[5]通过有限元数值模拟和实验测试方法对四自由度并联机床移动工作台进行了模态分析。Baumann[6]提出了建立一种机床动态模型方法。Sun 等[7]研究了瞬时冲击和谐波振荡对复合数控机床影响。机床动态性能研究主要有理论建模与分析、实验建模与分析、理论与实验相结合等研究方法[8]。目前针对并联机床综合动态性能研究相对较少，本文是以理论建模方法中有限元方法为基础，对一种三自由度并联机床机械结构综合动态性能进行研究，包括模态、谐响应、瞬态，得到机床承受动态载荷时的各种响应数据，为机床结构进一步优化提供参考。

1 并联机床模态分析

1.1 机床几何模型

依托三维软件Pro/E建立了并联机床几何模型，机床结构如图1所示。该机械结构主要由机架部分、并联机构部分组成，其中并联机构应用了螺旋副与万向铰链相结合的形式，主要由固定平台、动平台和空间三组支链组成。每组支链中含有两根等长杆，在杆件两端装有万向铰链分别与滑鞍和动平台连接；万向铰链是连接杆件和动平台的构件，此铰链允许两个构件之间具有两个独立的相对转动，因此万向铰具有两个相对自由度。滚珠丝杠水平安装于固定平台上，支链中等长杆形式为平行四边形，伺服电机驱动螺旋副保证了机构动平台在空间能实现X、Y、Z方向的平动，满足加工要求。

图1 并联机床几何模型

1.2 模态分析原理

机床模态分析是以线性振动理论作为基础，研究结构中物理参数模型、模态参数模型、非参数模型这几个振动模型之间的联系，确定机械结构系统模型特征。根据机械振动理论，并联机床动力学平衡方程为：

(1)

(2)

|[K]-ω2[M]|=0

(3)

1.3 有限元模型

将机床三维模型通过软件接口导入到ANSYS Workbench环境中。为了真实反映并联机床实际工作状况，并且能最大程度保证分析精度，对模型做了适当调整，包括删除水平方向电机、连轴器，固定平台中倒角、小孔、小台阶等特征，并对滚珠丝杠、动平台做了近似简化处理，这些特征对分析结果没有大的影响，但是保留这些零部件特征将导致划分网格过细，影响分析计算过程。

在ANSYS Workbench环境中对模型进行分析设置，其坐标系定义为：机床向右为X正方向，向上为Y正方向，向前为Z正方向，其中XOZ为水平平面。首先在Engineering Data中设定各个零部件材料属性，机床床身采用铸铁材质，该材料弹性模量为110GPa,泊松比为0.28，密度为7200kg/m3,其余零部件选用45号钢，其弹性模量为206GPa，密度为7850kg/m3，泊松比为0.29。所分析对象为装配体，零部件之间存在很多结合部，当结合部受到外在动态载荷时，结合面产生多自由度微幅振动[9]。结合部特性将对机床整体机械结构动力学性能产生显著影响，因此为了准确模拟机械结构动力学模型，对结合面做以下处理：将滑鞍与丝杠部分接触类型定义为有摩擦接触，万向铰部分定义为无分离接触，其余部位全部定义为绑定接触。

为了保证分析精度，划分参数设定为80，选用自由网格划分技术，并对支链动平台位置进行网格细化处理，如图2所示。并联机床有限元模型如图3所示，共获得989368个单元，243164个节点，单元类型为solid186。

图2 局部细化 图3 有限元模型

1.4 模态分析计算结果

依托ANSYS Workbench 中的modal模块对机床整机进行了模态分析，根据实际工况，限制了机床底面沿着X、Y、Z方向全部自由度，限制了3个滑鞍除了X方向移动外的全部自由度。提取了模型前20阶模态，频率值、振型情况与各阶相对最大位移如表1所示。典型阶次的振型图如图4所示。

根据计算结果，机床的第1～4阶固有频率偏低，说明第1～4阶的动刚度小于后边阶次机床动刚度。在机械结构振动过程中低阶模态起主要作用，高阶模态引起的响应衰减很快。机床第3、7、8、9、10阶振型相对位移较大，最大相对位移达到28mm，在实际工作时应尽量避免外界激励达到这些频率而使系统发生共振。

综合所有振型可以看出，整机低阶模态振型中变形较大区域主要集中在支链、动平台、万向铰位置，振型为整机沿空间各个方向扭曲变形以及支链各个连接部位扭曲变形，床身在高阶模态才有大变形，所以支链以及连接部位是刚度低的薄弱环节，可通过调整结构或者更换材料提高整机静动刚度。

表1 前20阶固有频率和振型

(a) 1阶振型 (b)2阶振型

(c)3阶振型 (d)4阶振型

(e)8阶振型 (f)18阶振型 图4 并联机床部分模态振型图

2 机床谐响应分析

2.1 理论基础

谐响应分析是在简谐变化载荷下机械结构的时间历程响应，是分析结构在各种频率和幅值简谐力作用下的响应，在结构设计中探测共振并有效避免[10]。对并联机床进行谐响应分析可以计算结构稳态受迫振动，得到各种频率响应值与频率之间的变化曲线，预测机械部分持续动力性能，从而验证并联机床机械结构能否避免共振和疲劳影响[11]。

由动力学理论，机床动力学方程[12]为：

(4)

x(t)=xc(t)+xp(t)

(5)

2.2 前处理设置

在ANSYS Workbench软件环境中，新建谐响应分析，并且与模态分析工程数据实现数据共享，在分析设置中求解的频率段为0Hz～200 Hz。考虑所研究并联机床是满足雕刻工作需要而设计，根据实际加工情况，所限制的自由度与模态分析相同，激振源为铣削力，经计算得到铣削力大小为69N，方向沿着动平台中心垂直方向，在所选频率段内定义载荷子步为20步，即每隔开10 Hz系统求解一个谐响应解。

2.3 响应结果分析

经过求解计算最后得到当激振频率在0到200Hz时候，机床动平台底面以及上部支链万向铰链部位位移响应曲线，动平台受力部位各方向位移响应曲线如图5所示，支链上部万向铰链一圆柱面各方向位移响应曲线如图6所示。其中横坐标代表频率(Hz)，纵坐标代表位移(mm)。分析响应谱线可得：

(1)在0～100Hz这个频带范围内，动平台X方向、Y方向、Z方向位移都比较大，在100Hz～200Hz这个频带范围内，到160Hz左右动平台响应幅值开始增大，到180Hz达到最大值。分析动平台在各个方向位移响应情况，Y方向位移量最大，X方向位移量也较大，Z方向位移量最小。其中X、Y方向变化趋势基本一致，刚度接近源于并联机床结构布局。

(2)并联机床受到外在激励频率达到70Hz时，动平台在X方向共振，振幅为0.87mm，相位为180°；频率达到180 Hz时，在Y方向共振，振幅为1.16mm，相位为180°；频率达到180Hz时，在Z方向共振，振幅为0.22mm，相位为180°。综合模态分析结果，第3阶频率值是72 Hz，动平台左右摆动，在X方向产生较大位移，而第8阶频率值是180Hz,动平台和支链在YOZ平面内上下振动，Y方向和Z方向产生较大位移，所以外在频率180Hz激发结构产生较大位移响应。对于支链上部万向铰链部分，外在激励频率达到180 Hz、70 Hz时，在X、Y、Z方向发生共振，振幅分别为0.45mm、0.03mm 、0.2mm，与模态振型一致。

(3)并联机床第1～4阶固有频率偏低，而低阶频率对其动态性能有很大影响，第3阶和第8阶固有频率是机床敏感频率，在应用中应避免激励频率在此范围内。

图5 动平台响应

图6 万向铰链响应

3 机床瞬态分析

3.1 瞬态分析理论基础

瞬态分析是用于分析机械结构在任意变化载荷作用下的响应的技术[13]，其输入数据可以是作为时间函数静态载荷、瞬态载荷、简谐载荷随意组合，输出可以是随时间变化的位移量或者其他输出量[14]。并联机床在实际工作过程中，可能要承受到较大的冲击载荷影响，瞬态分析就是研究其抵抗冲击载荷能力，结果可以用于机床设计指导[15]。

3.2 机床瞬态分析

在ANSYS workbench 软件环境中，新建瞬态分析。模型处理过程与前面模态分析相同。设置求解总步数为5，求解时间步长为2s，分析初始求解子步为1s，第1步结束时间为2s，第5步结束时间为10s。在动平台底面施加沿着Y负方向力69N。选择动平台底面指定结果输出选项。

3.3 瞬态分析结果

瞬态分析求解完成后，得到所指定位置响应结果，在10s时间内，最小位置位移在X方向为-0.0577mm，Y方向为-0.0655mm，Z方向为-0.0329mm；最大位置位移在X方向为-0.029mm，Y方向为-0.0636mm，Z方向为-0.0508mm。如图7为Y方向最大与最小速度时间曲线，图8为第10s位移响应图，图9为平均应力图。

图7 Y方向最大最小速度时间变化曲线

图8 位移图 图9 应力图

从瞬态分析结果可以看出，机床整机总体位移最大值集中在了动平台与万向铰链连接处，基本在0.097mm左右，机床动平台Y方向移动速度达到最大是在第2s时，最大值为0.11mm/s，此后逐渐减小到第10s时的0.05 mm/s。从机床平均应力变化情况看，在10s的时间里，应力变化基本在29.855MPa左右，小于机床材料的屈服极限，在安全范围以内，应力最大位置出现在后侧支链万向铰链与动平台连接处。应对其优化以提高机床稳定性和抗冲击能力。

4 结束语

针对一种三自由度并联机床，应用有限元分析技术，对机械结构进行了动力学响应研究。通过对机床整机进行模态分析，得到机床前20阶固有频率和振型，机床第1～4阶固有频率偏低；通过对整机进行谐响应分析，得到了动平台部位位移响应情况，指出了容易发生共振的频率范围在第3阶和第8阶频率，支链和万向铰链是影响动态性能的关键结构件；通过对机床整机进行瞬态分析，得到了机床承受冲击载荷时的响应，指出机床设计中的薄弱环节在万向铰链和动平台连接处。动力学响应分析结果可为同类机床结构优化提供参考。