“垂直于弦的直径”教学设计研究

【摘 要】[HT5K]研究者透过课例“垂直于弦的直径”，阐述数学教师设计教学时“二次开发教材”的作用、方法与途径，从中总结相应的基于“二次开发教材”进行教学设计的几种理念：其一，数学“再创造”的教学理念；其二，课堂教学是师生双向活动过程的教学理念；其三，课堂教学活动过程必然是动态过程的教学理念。

【关键词】[HT5K]垂直于弦的直径；二次开发教材；教学设计；教学理念

【作者简介】 张昆，中学高级教师，现供职于淮北师范大学数学科学学院、淮北市第一中学。

人教版数学九年级上册，在第81页到83页呈现了“垂直于弦的直径”的教学内容。教科书按如下几个步骤进行编排：第一步，提出一个探究性问题的序列；第二步，向教师和学生呈现探究垂径定理认识活动的过程，得到了垂径定理及其推论；第三步，列举隋朝李春建造赵州桥的主桥拱的例子，促使学生应用巩固垂径定理；第四步，选择了两道练习题，给教师与学生在课堂教学活动进行时作为备用[1]。那么，数学教师应如何处理教科书上所呈现的这些教学内容及其组织形式，从而进行教学设计呢？这就涉及“二次开发教材”的实质。这里，笔者先从“二次开发教材”的作用说起。

一、“二次开发教材”的作用

我们知道，人教版教科书使用的地域范围非常广，各个地方教师的施教水平与学生的学习水平并不平衡，教科书上教学内容的呈现对于不同地域的学生，甚至是同一所学校不同班级的学生，[HJ1.9mm]都需要教师设计不同的教学预案，在课堂上展开相应的教学活动。因此，编制再理想的数学教科书，都不可能符合每一位教师的教学水平与每一个施教班级学生的数学学习心理特点。这就要求数学教师必须以教科书为支点（如依据教学内容、教学目标等），根据具体的教情、学情，或多或少地改变教科书上关于某一教学内容的呈现方式，以适应学生的学习。本研究将这种教师在课堂教学中改变教科书上教学内容呈现方式的活动称之为“二次开发教材”。

数学教师“二次开发教材”的作用可以分为三个方面。其一，渗透新课程理念，使隐含于教科书中的教学理念显现。这只有通过教师的教学设计及其在课堂上的具体实施才能实现。其二，最大限度地发挥数学知识的教学价值。数学知识对每一个学生都有价值，教科书呈现的内容只有透过每一个学生的有效认识活动，才能实现数学知识对于具体学生而言的个性价值。由于学生的数学学习能力发展不平衡，因此，教科书上的一

[HJ]般性安排往往难以达到实现每一个学生个体价值的目的。其三，保证数学课堂教学有效性的实现。如果教师在课堂教学时照本宣科，那么就难以发挥每个学生的个性，降低数学课堂教学的有效性。因此，数学教师在进行某个具体知识点的教学设计与课堂教学时，“二次开发教材”必不可少。那么，教师如何进行“二次开发教材”呢？

[HT11.5H]二、基于“二次开发教材”的教学设计例示

“二次开发教材”应该以数学课程标准所设定的教材目标（如培养创新精神，激發学生学习数学的兴趣等）为准绳，促进学生形成独立学习数学的能力。要特别注意的是，“二次开发教材”不只是对教科书的内容进行补充（当然，必要的补充是不可少的），也不是没有依据地任意减少教科书所设定的教学内容，而是依据教学内容的特点，针对教师所施教的班级学生的具体情况而做出具体的选择。本文以“垂直于弦的直径”这个知识点的教学内容为例，说明“二次开发教材”的途径。下面的课例是笔者2017年秋在安徽省庐江县某中学所上的一节教学汇报课。

第一步，引入新课，形成探究性问题。

教师出示赵州桥的示意图（如图1），以讲故事的形式向学生叙述：图1是我国隋朝时期（距今约1400年）的石匠李春所主持建造的赵州桥。它坐落在今天的河北省，是一座比较古老的石拱桥。它虽然历经了1400年的风风雨雨，但至今仍坚固完好。赵州桥充分显示了我国古代劳动人民的智慧，是我国古代工匠创造精神的结晶。赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）约为37米，拱高（弧的中点到弦的距离）约为723米。相传李春师傅在实施这个建设项目时遇到了难题。这个难题就是在上述的跨度与拱高为已知的情况下，必须先制作图纸（建筑示意图），然后依据图纸分类型、分工期进行相应的施工。教师提问：“你能根据所学习的知识，帮助李春师傅画出这个主桥拱（这段圆弧）的建筑示意图吗？”

【设计意图】教师以现实生产建设（画出赵州桥主桥拱的建筑示意图）的实际需要提出问题，使学生身临其境，引发学生产生一探究竟的学习研究动机。

第二步，新课探究，师生、生生讨论交流。

下面是笔者关于这个知识点的课堂师生探究、生生探究、讨论活动的实录。省略号表示学生思维活动的中断。

生1：我想，将这种实物图抽象为平面几何图形，如图1， AB =37m，点 D是弦AB的中点，点C是AB的中点，从而可知CD为这座桥的拱高，即CD =723m……

师：生1提出将赵州桥的主桥拱通过抽象的过程数学（几何）化，这是应用几何知识解决生产或生活问题的第一步，是一种很好的想法，可惜，他的思考中断了。我们发现他做不下去的原因在于他没有考虑我们要做什么，即要达到怎样的目标。对此，同学们有什么新想法？

生2：我们要实现的目标是帮助李春师傅画出主桥拱，即图1中 AB [DD（][XC0.TIF][DD）]的这个具体的示意图。

师：生2的思考意味着什么？

生3：意味着如何画出跨度 AB =37m，主桥拱的拱高 CD =723m的这么一段圆弧 AB[DD（][XC0.TIF][DD）]。由于AB[DD（][XC0.TIF][DD）]是某个确定的圆（记作⊙O）的一部分，因此，我们只要画出这个⊙O，然后在⊙O上取一条弦AB =37m，就达到了目的。要作出⊙ O ，我们只要找到这个圆的圆心与半径就行了。

师：在生3的努力下，同学们终于找到我们这节课所要完成的任务，那就是知道⊙ O 的一条弦长，以及这条弦的中点到这条弦所对的弧的中点（拱高或弓形高）的距离，确定这段弧所在圆的圆心的精确位置及其半径的长度。那么，如何确定这段弧所在圆的圆心的精确位置，如何算出其半径呢？

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生4：这段弧所在圆的圆心就在线段CD所在的直线上。同样，AC[DD（][XC0.TIF][DD）]所在圆的直径也垂直平分AC[DD（][XC0.TIF][DD）]所对应的弦。于是，这两条直径的交点就是我们所要确定的⊙O的圆心，记为点O。

师：生4发现了圆中的一条弦的中垂线经过圆心。如此，在一个圆中，只要作出两条不平行的弦的中垂线，它们的交点就是这个圆的圆心。因此，生4说，线段CD所在的直线经过圆的直径。请生4说说你做出这样的判断的理由。

生4：我可以重新画一个图形加以解释吗？

师：当然可以。

生4：图1可以扩展成图2。由于AB[DD（][XC0.TIF][DD）]是轴对称图形，弦AB也是轴对称图形，⊙O自身还是轴对称图形。连接OA、OB，由于OA=OB，DA=DB，可知CD所在的直线是等腰△OAB的对称轴，于是OD⊥AB。CD所在的直线也是扇形OACB的对称轴。因此，CD所在直线也是AB[DD（][XC0.TIF][DD）]的对称轴。这样，我们就不难求出这个⊙O的半径了。李春师傅所要画的建筑示意图也就可以解决了。

师：经过同学们的分析与思考，我们可以帮助李春师傅画出赵州桥的建筑示意图。现在，我们来反思生4为了帮助李春画出赵州桥的建筑示意图所萌生的这些想法。从生4依据图2提出的想法中，我们可以获得一些有关几何学知识的结论吗？

生6：图2演示了一个圆的直径与这个圆的一条弦及这条弦所对的弧之间具有一些关系的性质……

师：大家开动脑筋，如何用简约的数学（几何）语言来帮助生6表达这三个要素之间的关系？

生7：平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧。

师：非常好。我们将其稍微修改一下，就变成了教科书第82页表达更为简洁的垂径定理。（师相机板书：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。）

师：大家还能发现其他什么结论吗？

生8：经过弦的中点，同时也经过这条弦所对的弧的中点的直线，一定经过圆心，并且垂直于这条弦。

师：非常好。我们将其稍微修改一下，就变成了教科书第82页表达更为简洁的垂径定理的推论。（师相机板书：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。）

师：我们通过画建筑示意图帮助李春师傅解决了问题，并且生成了垂径定理及其推论的几何知识。从这些（特别是求圆的半径的途径）思考中，我们还能萌生别的相应的数学方法吗？

生9：我产生了两种想法。其一，圆中有关弦长、半径、弓形高（弦心距）的计算问题，经常要利用垂径定理来解决。其二，构造直角三角形，使垂径定理与勾股定理有机地结合起来，可以解决某些计算问题。

第三步，巩固新知，选择合适的练习题加深学生对知识的理解。

师：请同学们判断下列一组题的正误，并说明理由。

这种教学设计既充分利用了数学教科书所提供的内容，又没有拘泥于教科书的呈現顺序与途径。教师随着学生对这个知识点发生的认识心理活动（如以激发动机、探究的热情等心理环节重新组织了教科书所提供的内容，这正是“二次开发教材”的精髓），在课堂上创设了一种仿真程度良好的探究活动背景。学生身临其境，在不知不觉中认识到这就是他们所面临的真实问题。另外，在开展探究活动时，教师没有固化于教科书的表达，而是鼓励学生用自己的语言加以表达，让学生感到非常亲切。教师以板书的形式使用教科书上呈现的准确语言来表述，从而又回归教科书，获得较好的教学效果。

三、“二次开发教材”的教学设计体会

笔者伴随着新一轮数学课程改革的步伐，认真学习数学新课程理念，不断将这些理念应用于教学实践，针对具体数学教学内容进行思考与试验，并在实践与实验的过程中有意识地加以检验与取舍。笔者通过“二次开发教材”设计垂径定理这个知识点的教学，渗透了以下几种新课程所鼓励的教学理念。

1数学“再创造”的教学理念

数学“再创造”是弗赖登塔尔提出并经由实践证明了的、有效的数学设计理念，它的一个理想化模型就是充分利用学生的“数学现实”。每个学生都有自己的“数学现实”。数学教师进行教学设计的首要前提，就是要比较准确地确定学生的“数学现实”已经扩展到了什么程度，下一步可能向哪个方向再扩展，如何有效帮助学生实现这种再扩展等，并据此选择课堂教学途径。弗赖登塔尔认为，与其说是让学生学习数学，不如说是让学生学习“数学化”；与其说是让学生学习公理体系，不如说是让学生学习“公理化”；与其说是让学生学习数学的形式体系，不如说是让学生学习数学的“形式化”[2]。数学“再创造”的教学活动模型，正是实现这三个“与其……不如……”途径的最佳手段。

基于数学“再创造”教学理念的内涵，笔者认识到，有效使用这种理念最为关键性的问题，就是如何提出能够引起学生“再创造”数学知识的问题。教师提出的问题应该具有使学生身临其境、感同身受的特征，否则，如果学生认为不是他们自己真实面临的问题，那么促使学生探究这一问题的动力就是不足的，学生也就不会真心实意、全心全力地进行探究。最好的手段，就是教师提供信息，鼓励学生自己提出合适的问题。这样，学生一定会认识到问题关键点的准确位置，就会自然而然（不需要教师强调）地全身心投入这个问题之中。

如这节课的课程教学活动过程所示，为了促使学生全身心地进行数学“再创造”活动，笔者特别重视创设相关情境，让学生认为垂径定理是他们必须解答的问题。教科书提供了关于李春师傅建造赵州桥的相关材料及其背景，笔者对教科书提供的材料进行了悉心的探索，经过长时间的深入思考，设计了如上所述的问题情境，在课堂上以讲故事的形式向学生呈现了问题。设计一个合适的初始问题，就从根本上规划好了一节课师生活动、生生活动的轨道，因为学生解决问题的活动是按照一定的规律展开的。从这个问题出发到获得知识结论之间，可能还会出现不少过渡性的问题。学生通过探究这个初始问题而获得一系列的新问题。这些新问题的答案不可能摆明在那里，它需要通过猜想等手段，从问题的规定性及其发现活动的规律性中揭示出来。学生对自己探究发现的那些素材进行辨别、选择，从而确定基于问题而发展出来的、有价值的新问题，这对学生创新能力、发现能力等的培养具有极其重要的意义[3]。在问题确定之后，一节课的大体发展方向和框架就已经被确定了——学生会按照自身的思维逻辑展开探索。

2课堂教学是师生双向活动过程的教学理念

任何一堂成功的或有效的教学活动课，都必须建立在课堂上教师的施教与学生学习的有效互动基础之上。因此，数学新课程的启蒙者谆谆告诫我们，要采用启发式教学，尽可能地减少灌输式教学与机械训练式教学。启发式教学最为重要的一个环节就是“启”，“启”的关键性一步是如何向学生提出合适的问题，或者（更为有价值的是）如何通过向学生提供信息，启发学生自己通过分析信息从而提出合适的问题[4]。心理学研究证实，学生对自己提出的问题会特别在意，会全力以赴、力所能及地设计探究程序（必要时，需要教师或其他同学的帮助），进入探究环节，迫不及待验证自己提出的问题是否能得到合目的性的结果[5]。这些做法都是为了使教师与学生在课堂上形成有效互动。

教师是学生和教材的中介，但教师的这种中介作用绝不是消极的。教师的劳动是有目的、有计划、有组织地再加工教材的创造性劳动，这种创造性劳动将决定学生学什么、如何学以及为什么学等要素。教师在课堂教学活动中起着主导作用，这是无可异议的。学生虽然是教师施教的对象，但是，他们也是学习任务与自身发展的承担者，是教学效果的显现者，是学习的主体。在课堂教学活动中，如果没有学生积极主动地参与学习活动，那么教师的施教活动必然是徒劳的。因此，教师的主要任务绝不是只限于讲清楚教材，而更主要的是设计、激发、引导与唤醒学生意愿，促使学生积极参与课堂的双向活动，积极与学生或教师进行有效互动。各种教学方法的改革也一定都是着眼于学生的学习的，以实现学生的有效学习为起点与归宿的。

在设计有关垂径定理的教学时，笔者所运用的教学理念就是在课堂教学中促进师生的双向活动。如前所述，这节课通过设计合适的探究问题，让学生身临其境，展开探究活动，这样就显得自然流畅，水到渠成。当学生在某些活动的节点上出现问题时，教师启发学生将其转化为待探究解决的新问题，师生据此又展开新一轮的探究活动。因此，这样的课堂对师生来说都是开放的，课堂活动总是紧紧围绕着这节课的教学目标而展开，既强化了探究活动的动力，又经由此开发学生智力，培养学生灵活转化的能力。虽然整个课堂活动头绪众多，线索纷繁， 但是整体结构却达到了“实而不死，活而不虚”的效果，富有探究活动的特色，不落俗套，体现了数学新课程的教学理念。

3课堂教学活动过程必然是动态过程的教学理念

由于学生具有个性差异，他们的智力发展不可能是统一步调的。因此，课堂教学活动始终处于动态变化之中。任何一位数学教师都不可能百分之百地使学生的学习步伐与自己的教学步伐完全同步，但具有较高技艺的教师的课堂教学活动能够提高这种同步率。因此，教师在教学时，要随时研究这种差异，尽可能地进行调整，使差异的幅度控制在一定的范围之内，或者达到某种程度上的平衡，这就要求教师采取各种形式与方式，及时反馈信息和调整自己的课堂教学活动。

教师运用“二次开发教材”进行教学设计，就是要在呈现数学信息时，尽最大可能寻求这种动态过程的平衡点，促使每个学生都能够依自己的“数学现实”参与课堂活动。如在这个课例中，教师竭尽所能激发学生学习兴趣，将学生本来没有强烈的探究动机的状态，转化为具有强烈的探究动机的状态，设法使学生意识到教师所提出的问题就是他们必须在这节课上解决的问题。学生通过参与其中，提出一系列的新问题，探究的动力不断增强，致使这节课的探究活动方向明确，活动环节环环相扣，从初始问题到“中途点（萌生的中间问题）”再到结论，一气呵成，形成了一个以问题为支点的、连续的探究序列。同时，在探究过程中，学生提出的问题、论点，以及所做的练习或家庭作业，都具有训练和反馈的双重意义，在教学过程中忽视或轻视任何一方都欠妥當。

从这个课例中我们可以明显地感觉到，如果教师确立与强化这种动态观念，那么研究者在进行垂径定理教学的“二次教材开发”时，才能自觉地采取与选择这种启发学生探究知识发生的活动过程，尽可能地照顾到每一个学生个体，从而采取相应的解决方法，及时从学生的活动中收集反馈信息，调整原有预设，纠正自己不当的教学行为，从而提高课堂教学质量。

四、结语

在数学课堂教学活动过程中，数学知识、数学结论不是由教师或教科书直接向学生提供的，而是教师通过备课（“二次开发教材”），将这种知识的学术形态转化为必要的数学化信息（更一般的是生活化信息），向学生演示，帮助学生从信息中发现（提出）问题，引导学生议论、讨论与辩论，从而基于这一途径再次发现知识、得出结论。因此，在数学教学设计时，“二次开发教材”是任何一位数学教师都绕不过去的重任，这个课例就是最好的诠释。对此，一线数学教师应该思之再思，慎之又慎。

参考文献：

[1]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.义务教育教科书数学九年级上册[M].北京：人民教育出版社，2014.

[2]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平，唐瑞芬，译.上海：上海教育出版社，1995.

[3]张昆，张乃达.设计结构性初始问题的实践与探索：数学教师专业成长的视点[J].中学数学，2017（12）：58-62.

[4]张昆.透过知识现象，深入思想本质：发挥数学课程资源教学价值途径的视点[J].中小学课堂教学研究，2018（3）：7-11.

[5]克雷奇，克拉奇菲尔德，李维森，等.心理学纲要（上册）[M].周先庚，林传鼎，张述组，等译.北京：文化教育出版社，1980.