经验：数学学习的“无痕”之道

王英

《数学课程标准（2011年版）》提出：让学生获得“数学活动经验”不仅指学习主体通过亲身经历数学活动过程所获得的具有个性特征的经验，还强调学生在活动中从数学的角度进行思考，直观地、合情地获得一些结果。数学活动经验不仅仅指实践的经验、知识的经验，更重要的是思维的经验，是在数学活动中思考的经验。数学教学应关注学生的认知经验背景，要善于利用学生已有的数学知识和经验特点，经过独立思考，探索实践，合作交流，积累数学活动经验，从而实现从经验认知到数学认知的飞跃。我以为，经验是数学学习的“无痕”之道。

一、 联系实践经验，在生活百科中融合

数学教学是一种缘于生活又运用于生活中的学习活动。教师应联系学生的生活，将生活百科中学生熟悉的、有数学价值的素材和数学课堂加以融合，联系实践经验理解数学知识，应用数学知识解决生活问题，从而联通学生的“现实世界”与“数学世界”，让学生的数学学习在不知不觉中开始。

1.利用“生活原型”，逐步抽象数学模型

在数学课堂上，教师应充分利用“生活原型”， 引导学生在感悟和认知的过程中进行数学分析和归纳，促进学生对数学概念的理解，对数学知识的自主建构，让学生从生活的“感性认识”提升为数学的“理性认识”。

例如，在教学苏教版六年级上册“百分数的认识”一课时，课前我先请学生收集生活中的百分数，不仅能让学生深刻感受到生活中百分数的广泛应用，还能很好地激发学生已有的生活经验，引导学生理解生活中百分数的实际意义，在学生的感性认识基础上，教师适时补充200%、100%、0.1%等一些生活中特殊的百分数，适当拓宽百分数概念的外延，在此基础上理解百分数的意义，从而培养学生透过生活原型、利用实践经验抽象出数学本质的模型。

2.应用数学模型，类比解决生活问题

数学学习的价值还在于学生能更好地运用所学的数学知识解决生活问题。在小学数学教学中，教师应鼓励学生学会用数学的眼光看待生活现象，根据生活中遇到的实际问题提炼出数学要素，抽象出数学问题，灵活运用数学模型解决生活问题。

在教学苏教版小学数学六年级上册“长方体和正方体的表面积复习”时，课前我照例让学生用自己喜欢的方式将相关知识点进行自主整理，自主建构知识体系后，紧密联系生活实际问题，打开数学模型与生活问题的通道，例如长方体和正方体的表面积问题与求6个面的箱子问题，求5个面的鱼缸问题、书套问题，求4个面的通风管问题，求1个面的占地面积问题以及长方体或正方体的分割问题、拼接问题等，灵活应用长方体和正方体的表面积计算公式这一数学模型来解决生活中的诸多实际问题。

我以为，生活处处皆数学，我们要以学生的视角，合理利用学生的生活素材，努力寻找数学学习与学生已有实践经验的结合点、生长点、延伸点，学会用数学的眼光去解决生活问题，体现学习数学的价值。

二、利用知识经验，在纵观全局中融汇

数学认知结构是学生已有知识和经验在头脑中的组织形式。而数学知识结构间是相互关联的，教师应了解知识的前世、今生和未来，在数学教学中，站在纵观全局的高度融汇已有的数学认知结构，充分激活学生已有的知识经验，让学生在循序渐进中掌握知识。

1.瞻前顾后，构建新旧知识的连接点

数学教学就是要借助数学知识前后的逻辑结构，在研读教材的基础上，理解新旧知识之间密切的逻辑关系，引导学生由旧入新，精心设计教学环节，有意识地帮助学生构建新旧知识前后的连接点，为学生的后续发展打下基础。

例如，在教学苏教版六年级上册“用距离和方向确定位置”时，纵观关于确定位置前后，新旧知识是有着密切联系的。一年级用上下、左右、前后等方位词表示物体之间的位置关系;二年级用东、南、西、北，东南、东北、西南、西北等方向词描述物体所在的位置;四年级是用数对描述物体的具体位置，建立直角坐标系的雏形;六年级用方向与距离确定位置。不难发现，關于确定位置从表示一条直线上的位置到表示一个平面上、一个直角坐标系中的位置，以后也许还会表示一个球面空间的位置，数学知识的学习是一个螺旋上升的系统工程，相同的知识板块编排在不同的学段和年级有着密切的联系。

2.由此及彼，寻找知识关联的生长点

数学知识不仅有新旧知识的联系，还有知识板块之间的相互关联，所以教师在理解教材编排意图、把握每个知识板块重难点的基础上，努力寻找知识关联的生长点，从而使学生从整体上把握学科及其核心的内容，实现学生对数学知识的深度理解，融会贯通。

例如，在教学苏教版四年级下册“加法交换律”一课时，特级教师张苾菁着力寻找知识关联的生长点，教学中首先关联加法意义的本质理解：交换两个加数的位置，和不变，那么3个加数，更多个加数呢？其次关联乘法交换律，在其他运算中有没有这种运算规律呢？还关联探索规律的方法习得，让学生经历观察猜想—举例验证—观察发现—总结归纳—明理回归—个性表达这样一个比较科学完整的探索规律的过程，学生获得的不仅仅是数学知识，更是一种策略、一种能力、一种思想。

我以为，教师应站在纵观全局的高度，找到新旧知识的连接点，不仅要敢于退，退到学生已有的知识经验上，也要敢于进，进到学生未知的知识领域。同时要寻找知识关联的生长点，在本质上求同，在比较中求联，并采用螺旋上升、前后推演的办法帮助学生掌握知识，理解意义和发展思维，实现知识的整体构建。

三、积累思维经验，在类比与建模中融通

思维经验相对于实践经验来说更为抽象、更为隐性，它是一种在思维活动中获得的过程性体验。在数学教学中，教师要充分挖掘思维的本源，通过“举三反一”“举一反三”等多种方式展开活动，发展思维，积累经验。让学生在感悟和体验中经历思维的全过程，学会内化，形成一个融通的数学知识结构，从而积累数学活动经验。

1.在“举三反一”中建立模型

《数学课程标准（2011年版）》强调：“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型，并进行解释与应用的过程。”经历数学建模就是一个“举三反一”的过程，也就是一个归纳推理的过程。

例如，在教学小学数学五年级上册拓展课 “握手问题”时，教师引导学生思考：4个人两两握手，和每人握一次，一共要握多少次？学生根据已有的知识经验可以画图、连线甚至四人小组实际操作等多种方式得出6次，通过观察比较、异中求同得出计算方法后，紧接着思考假如一共有5人、 6人、10人呢？

学生观察发现：每人握手次数总是比总人数少1;握手总次数就是从每人握手次数开始依次往后加到1。在学生初步感知的基础上，再提出一共有10人呢？随着握手人数的增加，用加法计算握手总次数比较复杂，由此讨论得到另一种计算方法：10×9÷2;最后还可以拓展到n人握手，握手总次數是n×（n-1）÷2。

我以为，要让学生真正理解一个规律，首先要通过“举三反一”， 让学生练习在题型结构、解题方法、数学思想上具有同一模型的一组习题，在充分交流、观察、反馈、总结基础上，学生有了丰富的感性认识的积淀以后，发现其中的规律，理解数学的本质。这样不仅能够加深对规律的理解，而且可以培养学生初步的建模意识。

2.在“举一反三”中类比联想

数学问题之间是有关联的，教师应根据学生需求，通过适当的教学手段，引导学生深入理解，灵活应用所学内容，从而由此及彼，在处理不同的情境和问题中感悟到一般的规律后，在“举一反三”中学会变通，学会内化，形成融通的数学知识结构，创生新的经验。

例如，教学上述“握手问题”新授环节后，我出示“握手总人数、每人握手次数，握手总次数的计算方法”这三个要素中的任意一个要素，要求学生思考：怎样得到其他两个要素？这就是引导学生学会“举一反三”。

随后，我组织学生全面回顾“握手问题”所经历的数学思维过程，引导学生进行类比、迁移、联想，在“举一反三”中融会贯通，由握手问题还想到了“两两跳舞”“两两通电话”“数线段”“数角”“数长方形”“数三角形”等实际问题。从而认识到不同现象之间有着共同的本质，深刻体会数学模型的抽象概括性，感受数学以简就繁，万象同理的神奇，世界上有做不完的数学题，但是我们却可以触类旁通，万物归宗。

学生的数学建构活动不只是单一的经验同化过程，而是多元经验的积累过程，所以教师应组织多元化的数学活动，让学生多角度触及数学知识结构的本质，从而丰富学生的数学思维经验，不断修正、改进数学认知结构，进而创生出学生自己的个性化经验，形成相对稳定的数学认知结构，让学生的数学素养在春风化雨中不断提升，这也许就是学生学习数学的“无痕”之道。

（作者单位：江苏省张家港市塘市小学）

责任编辑 周瑜芽