深入探究，春暖花开
——一道江苏模拟解三角形的探究

☉江苏省张家港市沙洲中学 王春凤

三角形中的定值或最值问题是解三角形问题中的重点与难点之一，也是新课标大纲充分体现在“知识点交汇处”命题的一大阵地.此类问题往往设置巧妙，形式活泼多样，而且问题中知识的交汇比较多，有效提升了题目难度，从而使解决问题的思维方式多变，破解方法多种多样，一直是历年高考、自主招生、竞赛命题中的基本考点和热点之一.

一、问题呈现

【问题】（江苏省泰州市2019届高三上期末·14（泰州一调））在△ABC 中，已知，且sinAsinBsin（C-θ）=λsin2C，若为定值，则实数λ=______.

本题以△ABC 为问题背景，除了三角形的三内角外还引进了一个“外援角”，通过设置涉及含有参数λ 的四个角的三角关系式外，还借助三角形中没具体告知结果的三角关系式的定值问题，进而达到破解对应的参数值的目的.题中涉及角的参数较多，且三个内角之间又相互关联，参数与定值之间必然还存在某种关系，错综复杂.

二、多解剖析

思维角度1：（三角方程法）结合三角关系式的定值加以三角恒等变换，并引入定值参数，得到关于sin2C 的关系式，又结合条件，以及已知三角关系式的变形得到λsin2C的关系式，通过两对应关系式作商，得到关于tanC 的方程，利用条件得到相应参数的方程组，从而得以求解相应的参数值.

由sinAsinBsin（C-θ）=λsin2C，代入化简整理可得λsin2C=sinAsinB（sinCcosθ-cosCsinθ）=sinAsinBsinθ·（2sinC-cosC）.②

而tanC的值是变化的，k、sinθ的值为定值，那么只能是解得，此时常数k=4.

思维角度2：（正弦定理法）结合三角关系式的定值加以三角恒等变换，以及正弦定理的应用，并引入定值参数，得到关于λc2的关系式，又利用已知三角关系式的变形，以及两角差正弦公式的应用得到λc2的关系式，通过比较两个三角关系式中的系数来求解相应的参数值即可.

而由sinAsinBsin（C-θ）=λsin2C，tanθ=（0＜θ＜π），可得

三、变式拓展

探究1：保留原问题的条件，转化求解目标，由原来求解实数λ的值改为求解定值k的值，从而得以变式.与原题难度相当，知识点一致，只是改变一个角度.

【变式1】在△ABC 中，已知，且sinAsinBsin（C-θ）=λsin2C，若为定值k，则实数k=______.

解析：结合以上问题的解析过程，可知常数k=4.

答案：4.

探究2：保留原问题的三角关系式，改变原来的已知条件进行角度转换，给出对应的定值但没给出定角θ的三角函数值，从而得以变式.与原题难度相当，知识点一致，也只是改变一个角度.

【变式2】在△ABC 中，已知sinAsinBsin（C-θ）=λsin2C，其中角θ 满足0＜θ＜π，且为定角，若，则实数λ=______.

探究3：在变式2 的基础上，由原来求解实数λ 的值改为求解定角θ 的正切值，从而得以变式.与变式2 难度相当，知识点一致，只是改变一个角度.

【变式3】在△ABC 中，已知定角θ 满足0＜θ＜π，且sinAsinBsin（C-θ）=λsin2C，若，则tanθ=______.

解析：结合以上变式2 的解析过程，可知

探究4：保留原问题的三角关系式，并直接给出原来的参数值，但没给出定角θ 的三角函数值，从而在明确三角关系式定值的基础上来确定该定值，从而得以变式.与原题难度相当，知识点一致，也只是改变一个角度.

【变式4】在△ABC 中，已知定角θ 满足0＜θ＜π，且sinAsinBsin（C-θ）=，若为定值k（k 为正数），则实数k=______.

四、规律总结

其实，探究解三角形中的相关参数、三角关系式的取值范围、最值及定值问题等，可以有效发现三角形中的边、角等知识之间的内在联系与变化规律，从而加强对相关内容的有效综合与合理转化，进而加以正确地理解与掌握相关的知识与破解方法，有助于数学解题能力与应用能力的提高，真正提升数学能力，拓展数学素养.