发挥数学独特优势，展现高中课改魅力

宋薇

【摘要】  在新一轮课改全面深入的今天，我们高中数学教师应不断地挖掘数学本身所具有的特殊美，来激励和感染学生的求知欲。本文阐述以下四点：第一，在教育中，介绍数学美，能增强学生民族自豪感。第二，在授课中，展现数学美，能培养学生求学兴趣。第三，在数学中，创造数学美，能提升学生思维能力。第四，在育才中，追求数学美，能加深学生理解知识。为此，充分发挥数学美在教学中的作用，已成为求学者不可缺少的“加油站”。

【关键词】  高中 数学 课改

【中图分类号】  G633.6             【文献标识码】  A   【文章编号】  1992-7711（2020）19-011-03

意大利比萨大学著名的数学教育家、理论家布莱恩·坎特博士指出：“我们的教育工作者，在传播知识过程中，应有目标地培养求学者对数学美的鉴赏能力，指导他们用美的眼光学习数学，探索数学美的奥秘，成为数学美的追求者。”然而，数学是研究空间形成和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言及有效的工具。数学美即蕴藏于：它所特有的抽象概念、公式符号、命题模型、结构系统、推理论证、思想方法等等中的简单、和谐、严谨、奇异等形式;它是数学创造的自由形式;它揭示了认识规律性，是一种科学的真实美。作为一名高中数学教师，在授课中，应踏着新时代的节拍，不断地挖掘数学本身所特有的美，用数学美来感染诱发学生的求知欲，激发他们的学习兴趣，唤起他们对数学的美好情感，使学生在课堂中获得美的享受，并充分发挥数学美在教学中的作用。下面笔者谈一谈自己对数学美的一点认识，愿与同行们一起探讨，共同提高。

一、在教育中，介紹数学美，能增强学生民族自豪感

北京师范大学著名的数学教育家，课改专家孙建勋教授指出：“咱们的人民教师，只有通过对我国古今数学成就美的介绍，才能提高学生的爱国情怀，也才能使他们树立：为了祖国的强盛与人民的富裕，而不断进取，勇于创新，敢于攀登的奋斗精神。”诚然，我国是世界文明古国之一，中华民族有着五千年悠久的科学文化史。其中，数学曾为世界的发展作出了巨大的贡献，有着辉煌的成就美，它的成果先进性是世界公认的。如：古代数学书《周髀算经》中记载的“勾股定理”和“十进制位制”的记数法，都被世界公认为最好的定理和记数法。比如：刘徽首创的《割圆术》，从正方形起算到3072边形得到π≈3.1416，较西方的毕萨诺早900余年。而祖冲之进一步求得了3.1415926<π<3.1415927的成果比鄂图早1000年。又比如：现行高中《立体几何》课本P98页中，介绍的祖暅原理，就是由我国古代科学家祖冲之的儿子祖暅，在实践的基础上，总结出的研究几何体体积的原理：“幂势既同，则积不容异”，它比意大利的“卡瓦列利公理”还要早1200年等等。由于祖暅原理把各种几何体的体积问题都有机地结合起来，我们利用它，就可以把柱体的体积转化为长方形的体积去求;锥体的体积转化为柱体的体积去求;台体的体积转化为锥体的体积去求。总而言之，在祖暅原理的指导下，柱、锥、台、球的体积，都可以通过等积变形转化为已经解决的问题。另外，祖暅还成功地求出球的体积公式V球=πR3，这在世界上是独创的，而且是遥遥领先的科学创举。这样的事例还有很多，我们的教师在授课过程中，必须让学生了解中华民族光辉灿烂的数学美史，则有利于培养学生对数学，更进一步产生求学的兴趣，激励他们为实现“伟大复兴中国梦”而努力学好数学的热情。同时，升华他们的科学态度和辩证唯物主义的观点。

二、在授课中，展现数学美，能培养学生求学兴趣

法国格勒贝尔管理学院著名的教育家、心理学家享利·庞加莱教授指出：“兴趣是推动求学者学习进程的内在动力，求学者只有对所学知识产生兴趣，他才会有学习的热情，也才会怀着强烈的求知欲，自觉地、主动地探索知识，进而愿意积极地参与到授课活动中，并与教育工作者共同探讨知识，从而使教学质量得到提升。”众所周知，由于数学内容具有高度的抽象性与逻辑上的严谨性，学生通常对数学的印象是：单调、枯燥、乏味，无法对它产生兴趣，从而在学习过程中，容易造成厌学情绪。因此，在教学中如何诱发学生的求学兴趣，就成了数学教师必须思考的首要问题。而前苏联著名的教育家，屠格列夫教授指出：“人们的兴趣不是生来就有的，它是在一定的需要基础上，在社会实践过程中，逐步形成与发展起来的。”由此可见，要使学生对数学产生兴趣，教师在教学中，就要通过授课过程的巧妙设计，向学生多角度展示数学的美，让学生体会到数学和音乐，绘画一样能给人以美的享受，从而使学生感受到数学内容是很美的。并通过数学美的唤起力，吸引学生深厚的求学兴趣与强烈的学习欲望，让他们产生愿学、乐学的情绪。比如：函数y=f（x）这一简单的表述式，把两个变量x和y的关系通过对应规则f连接在一起，并用等式表示，深刻地表现了数学符号美和简单美;圆锥曲线图形的对称，杨辉三角的对称等，都反映了数学的对称美与和谐美;函数f（z）=x+yi在复平面内处处连续，却处处不可导，这一反例的构思是多么绝妙，给人一种奇异的美感，反映了数学的奇异美;在梯形的面积公式S=（a+b）h（a为上底，b为下底，h为高）中，当a=0时，变成三角形的面积公式。当a=b时，变成平行四边形的面积公式。这种既有区别又有联系，既对立又统一，从量变到质变的辩证方法，在数学中处处可见，反映了数学的统一美;方程的曲线和曲线的方程的关系，静中有动，动中有静，深刻地反映了数学的静态美与动态美等等，这些都是数学美的体现。至此，在数学教学中，教师要把数学中的这些美学本质，通过合理、巧妙的教学设计挖掘出来，展示出来，从而激发起学生对数学美的体验，培养学生热爱数学的兴趣和对数学美的崇尚。

三、在数学中，创造数学美，能提升学生思维能力

美国塔夫茨大学著名的数学教育家彼得·施密特教授指出：“数学一向被称为思维的体操。而现代教育论理认为：求学者是学习的主体，教育工作者必须把培养和发展求学者的数学思维能力与教会他们自己会学习放在首要的地位。”可见，高中数学教学的基本任务之一，就是在传播数学知识与培养数学思想的进程中，大力促进和增强学生的思维能力。况且，高中数学思维中，蕴含着大量的美学因素。如：化简原则是数学简洁美的要求与体现;极限法、特殊化、正难则反，是数学奇异类的要求和体现;从特征命题的对称命题（如逆否命题、伴随问题）的真假或解答而获得启发，是数学对称美的要求与体现;一般化方法的内在关联性，是统一美、和谐美的要求与体现。根据高中生正处在青春期具有“好想”，“好动”的特点，我们的教师可以通过一题多解，一题多变，一题多用，一图多变等等数学的奇异美，鼓励学生多向思维，标新立异，找出最优方法。比如：从圆（x-1）2+（y-1）2=1，外一点P（2、3），向该圆引切线PA、PB，切点为A，B，求直线AB的方程。本人在教学中发现，学生容易从直观入手，分析得出由切线求切点，然后求得直线方程的方法。此法思维贴切自然，但运算较繁。为此，教师应抓住时机，及时点拨，促进学生思想发散，引导学生思考，如何求切点更简捷？经过观察、分析、联想，有的同学给出了一种由两圆相交，求切点的新颖解法，即设已知圆的圆心为C，切点是以PC为直径的圆与圆C的交点，构建方程，求出切点，得到直线AB的方程，此法比先前的方法更为简捷。在此基础上，教师应乘胜追击，启发学生反思命题的终极目标，提出欲求过切点的直线方程，是否一定要求出切点的坐标呢？并用数学美的诱发力唤起学生浓厚的兴趣，启迪他们思维活动，最后得出了“设而不求”的巧妙方法，即设切点坐标为（x、y），由前一种方法，可知切点坐标满足两个圆的方程，由两个圆的方程得到一个含x、y的二元一次方程，即是直线AB的方程。多么明了的推理，多么简单的过程，这样的改进，无疑将增添了学生的学习热情，提高与挖掘出更新的思维通道。又比如：正方体、等边圆柱、球的表面积相同，其体积分别为V1、V2、V3，判断V1、V2、V3大小关系？这个问题，基础好的同学可以利用所学公式推导出结论，但感觉很繁杂。教师授课时，不妨从问题与自然相互联系统一美，和谐美思考，提出一个相关的实际问题，气球为什么呈球形，而不是呈正方形，圆柱形？组织学生讨论，使他们渐渐明白，表面积一定时，以呈球形的容积最大。再推广，表面积一定时，表面越光滑的几何体，体积越大，使学生很自然地接受了这种思维。再提出上述问题的伴随问题;正方体、等边圆柱、球的体积相等，其表面积分别为S1、S2、S3，判断S1、S2、S3的大小关系？使学生领略到了数学思维中的奇异美，并通过讨论得出结论：体积一定的几何体，以球的表面积最小。这样，学生对这个数学问题的掌握、理解就比较透彻，也有利于增强学生的学习兴趣，培养其创新意识。正是在以上情景的“教“与“学”中，蕴含着数学思维的对称美、奇异美、统一美、和谐美，让人有了返璞归真的感觉。此时，师生情感交融，而学生的变通性、广阔性、深刻性、独创性等诸方面的思维得到培养和提高。他们通过亲身感受到数学的奇异之美，陶醉到创造数学美的愉悦之中。这就说明了教师要善于把握教学机制，创设思维境界，用数学美启迪学生思维。每当学生对数学美感受最灵敏、最强烈、最深刻的时候，他们的思维也进入最佳时期，逻辑思维和灵感思维交融促进，聪明才智得到充分发挥，一旦“灵感”出现，他们就会感受到创造数学美的喜悦与成功后的乐趣。毫无疑问，他们的思维能力将显著地得到大幅提升。

四、在育才中，追求数学美，能加深学生理解知识

英国诺丁汉大学著名的数学教育家、哲学家、罗伊·克莱文教授指出：“数学，如果正确看它，不但拥有真理，而且也具有至高的美，是一种冷而严肃的美。这种美不是投合我们天性脆弱的方面，这种美没有绘画或者音乐那样华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步。而且只有伟大的艺术，才能谱写出那种完满的境地。”这就道出了数学美的特殊性，说明数学美是美的高级形式，它不但体现了科学美，也体现了艺术美。目前，在中学数学的授课与教材中，出现了一些偏差，主要有以下三点：第一，见木而不见林，细节多，思想少，见不到本质，这在一定程度上失去了“真”。第二，割断了数学与哲学，数学与艺术，数学与自然的联系，使学生见不到各个学科之间的联系与相互作用，这就在一定程度上失去了“善”。第三，见不到数学整体结构的和谐与一致，这在一定程度上失去了“美”。结果使学生丧失了对理性追求的兴趣。因此，这就要求我们高中数学教师在教学中，不断地“充电”，加强自身美学的修养，在教学中追求数学美的本质，但应把握好以下三点：其一，由于数学来源于生活，在抽象的数学内容中，包含着无限丰富的感性内容。在授课教师应充分利用这个特点，通过大量生动的感性材料给学生以美的美感直觉，把抽象枯燥的数学概念、公式、定理，先给学生以具体的直观形象，再上升为理性形象，成为字母与运算符号间的造型艺术，使学生对所学知识易于接受，便于理解。比如：在讲解等差数列前n项和公式时，应阐述历史上关于高斯解答1+2+3……+100=？的故事，激发学生探究知识的欲望;在讲解复数的概念时，通过阐明虚数单位“i”的来历，使学生了解复数的产生和数的发展历史，引导学生向数学知识领域的迈进;在讲解椭圆时，联系生活实际，让学生思考油罐的侧面曲线具有什么性质，这样通过问题的引导启发，唤起学生心理上的学习动机，形成学习数学的心理指向。其二，在教学设计上，对教学内容的组织应该有严谨、合理的结构，教学环节之间详略得当，重点突出，体现对学生的双基能力和非智力品质的培养，教学内容的顺序、方式都要符合学生的认知规律。另外，对于教学中发生的一些意想不到的情况，教师要随时应变，因势利导，巧妙地化解矛盾，体现教师对课堂调控能力，这样既能促进学生巩固和加深对所学知识的理解和应用，也能增添教师的教学魅力，起到事半功倍的效果。其三，教师要注意语言的应用，由于语言是教学思想的直接体现，清晰、流畅、优美、富有节奏变化的教学语言能使学生获得一种美的享受，并能给学生一种潜移默化的影响。作为一名高中数学教师，应用通俗易懂，形象有趣的语言，将抽象的概念具体化，使深奥的知识明朗化，用幽默风趣的语言激活课堂气氛，调节学生情绪，通过驱动学生的数学想象，来达到培养学生数学能力的目的。况且，德国图宾根大学著名的数学教育家、言语研究专家简·库特曼教授指出：“数学也是一种语言，就其结构和内容而言，它在现实生活中，优于任何普通语言，是最完美的语言;事实上，由于它为每一个人所理解，数学可称为语言的语言;自然界仿佛用它说话，世上的创造者用它说话，世界的保护者仍用它说话。”然而，数学语言与通常的语言有重大的区别，它把自然语言扩充、深化，而变为紧凑，简明的符号语言，并具有单义性、准确性和演算性。因此，教师的教学语言要准确规范，尤其对定义、定理的叙述要精准，要注意发挥数学语言的特性，决不使学生发生疑问和误解。总之，我们的数学教师在授课实践中，应不断探索，不断总结，不断完善自己的教学语言，努力达到数学教学语言的科学性、艺术性的辩证统一。

结束语

我国著名的数学教育家、课程评审专家谷超毫院士指出：“别看数学表面上枯燥，其实只要深入进去，你就会发现奥妙无穷，美不胜收，简直是开发不尽的宝藏啊！”显然，如果学生对数学产生了兴趣，在短时间内的学习应该没有多大问题。但光有兴趣是不够的，若他们在求学的征程中，无法体味到数学求学的乐趣，也无法感受到数学的“美”，学习就会变得枯燥乏味，学习的热情就会逐渐减退，甚至消失。为了防止这种情况的发生，我们的数学教师应紧跟新时代的步伐，迅速转变观念，提高自身综合素质，在授课中不断创新教学方式和情境，让学生切身体验到数学的内在美，从而夯实他们对数学产生的深厚兴趣。这就好比是：为了让汽车持续行驶，必须为它加油一样。由此可见，数学美的体验，就如学生求学中的“加油站”。总而言之，高中数学教师，能否成功地激活学生对数学知识的热爱，并保持旺盛的学习情怀，在很大程度上取决于能否向学生揭示数学的特殊美。同樣也可以认为：这是数学教育工作者，在传播知识中，成功与失败的关键点。

[ 参  考  文  献 ]

[1]张永金.高中数学课问题教学模式的构建探寻[J].课程教育研究，2019（30）：121.

[2]刘彩艳.新课改下高中数学自主探究式教学初探[J].甘肃教育，2019（10）：57.