渗透分类讨论思想，优化高中数学教学

项光亨

摘要：如今我国教育改革不断深入，越来越多的新型教育理念应用到数学教学中。在高中数学教学中，合理地应用数学思想方法可以提高学生的学习效率，有助于提升学生的数学综合素养。分类讨论思想是一种比较常见的数学思想方法，它可以帮助学生很好地解决数学问题，并且能强化学生的数学逻辑思维。因此，高中数学教师在教学实践中必须充分发挥分类讨论思想的作用，并根据当前分类讨论思想应用中存在的问题采取相应的教学策略，以促进学生数学学习水平的提升。希望通过本文的分析可以为广大教育工作者提供一些参考。

关键词：分类讨论思想;高中数学;应用

数学是一门具有极强理论性的学科，其中涉及的分类讨论思想极为广泛。对高中学生来说，分类讨论思想依旧是一个较为新颖的思想类型。高中数学教学中，分类讨论教学思想适用于存在多种解题可能性的题型解答过程当中。这种题型不可通过一种思维将解答过程描述完整，因此需要将问题按照特定的条件或者标准划分，形成多个独立的问题，最后将所有的解题过程综合起来，确定出结果。教学环节应用此思想可培养学生的逻辑思维，简化数学问题，为学生解题提供思路，提高解题效率。

1 分类讨论在高中数学教学中的应用要求

高中数学中分类讨论教学思想的应用应按照特定要求进行，才能确保分类过程的正确性。首先，遵循同一性，在同一次分类过程需依照特定标准和依据进行。其次，遵循互斥性，即分类之后，各个分项代表的含义互相排斥，元素只属于一个子项当中。再次，遵循相称性，分类之后子项的并集需要和母项子项相等。最后，遵循层次性，分类过程包括一次、多次分类，其中一次分类之后，对分类对象进行一次讨论;多次分类之后，分别对各个子项展开讨论，并将其作为母项继续分类，直到讨论结果满足要求。

2 分类讨论思想在高中数学教学中的应用

2.1 将分类讨论思想融入教学设计

高中数学教师在开展课堂教学时，合理地应用分类讨论思想，在很大程度上能促进学生数学思维的发展，能使学生在解决数学问题时思路更加清晰，有利于提升学生解题的准确性。在教学设计环节，教师要适当地渗透分类讨论思想，引导学生树立数学思维观念，学会用数学思想来处理数学问题。在解决数学问题时，如果涉及到分类讨论，相对比较复杂。鉴于此，教师还要优化分类讨论思想的应用，以此更好地发挥分类讨论思想的价值。

如教师在不等式的教学中，可以设计这样的例题：试求不等式（a+1）x>a2−1的解。

学生在解答这道题时，有时会出现考虑不全面的情况，没有分类讨论a+1>0、a+1=0、a+1<0这三种情况，简单地得出错解x>a−1。在教学中，教师就要引导学生树立分类讨论意识，学会对不等式的性质进行分析讨论。在本题中，可能有a+1>0、a+1<0、a+1=0三种情况，所以学生在解题时要分类讨论。解：（1）如果a+1>0时，a>−1，那么x>=a-1。

（2）如果a+1=0时，a=−1，不等式（a+1）x&gt;a2−1为0×x>0，得出原来不等式没有解。

（3）如果a+1<0时，a<−1，那么x<=a-1。

2.2 解决排列组合问题

高中数学教学中，排列组合问题的求解过程，常常含有各类约束条件，使问题呈现出复杂性特征。使用分类讨论这一解题思想，可有效将问题简化，为学生提供明确的解题思路，提高数学问题的求解速度。

例如，讲解这样一道和排列组合相关的题型当中：在正方体中选取 8 个顶点、6 面中心点、12 棱中点以及正方体中心点，总共 27 个点，其中三点共线的个数有几个？在讲解这道习题时，可使用分类讨论的思想，按照题意，可将三点共线划分成三个种类。

第一种：由棱中点作为两个端点，三点共线个数为 12×3÷2=18（个）;

第二种：由两个端点作为顶点，三点共线的个数为 8×7÷2=28（个）;

第三种：由面中心为两个端点，三点共线的个数为 6×1÷3=2（个）。

综合以上三种情况，三点共线个数为 18+28+2=48（个）。

2.3 将分类讨论思想应用于解题过程

很多高中生在解决数学问题时，会出现审题不清的情况，这就会影响其解题质量。在教学实践中，教师需要引导学生养成良好的审题习惯，特别是在面对一些复杂的数学问题时，可以指导学生利用分类讨论的思想对问题进行剖析，灵活地应用各种数学知识、已知信息，达到准确解题的目的。

以下面这个问题为例：x轴和函数 y=ax2−ax+3x+1相交，并且交点只有一个，求这个交点的坐标及a的值。

在解答这个问题时，有的学生会直接将函数 y=ax2−ax+3x+1看作一个二次函数，没有对a的取值进行分析。事实上，本题给出的函数有可能是一个一次函数，所以要对其进行分类讨论，这样才能保证解题准确性。

解：（1）如果a=0，那么函数 y=ax2−ax+3x+1实际上是一个一次函数 y=3x+1，那么可以求得函数与x轴的交（，0）。

（2）如果a≠0，那么题目中给出的原函数属于二次函数，由于函数和x轴仅存在一个交点，则可以求出函数和x轴交点是（−1，0）。

结束语

总之，在高中数学教学中，注重分类讨论思想的应用在很大程度上能加深学生对数学知识的理解，并且能强化学生解决数学问题的能力，有助于学生数学综合水能力的提升。在日常教学中，高中数学教师应该结合学生的发展需求，灵活地应用分类讨论思想，以此为学生的发展提供保障。

参考文献：

[1] 兰鹏林. 分类讨论思想在高中数学解題中的应用[J]. 中学课程辅导（教学研究），2020，14（24）：44.