一道高考模拟题的解法探究

广东省湛江一中培才学校(524037) 魏 欣

广东省雷州市第八中学(524232) 邓春梅

球相关的切、接的最值问题是立体几何的一个重点、难点,也是高考和高中数学竞赛中考查的一个热点,从“几何作图”和“分析图形”两个角度考查直观想象核心素养,考察考生的空间想象能力和逻辑思维能力,同时考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算的核心素养,也是考生的难点、易失分点.要解决这一难点,关键是找到反映“切、接”的几何量集中的一个截面,并找到这些几何量所满足的关系式.下面就2020年广东省佛山市高中毕业班第一次教学质量检测理科数学第16 题进行详细分析、探究其规律,并归类和总结对此问题的求解策略.

一、题目展示与分析

题目(2020年广东省佛山市高中毕业班第一次教学质量检测理科数学第16 题)在平面四边形ABCD中,沿直线AC将ΔACD翻折成ΔACD′,当三棱柱D′ -ABC体积取得最大值时,该三棱锥的外接球表面积为____.

解析 方法一(坐标法)在ΔACD中, 由余弦定理可得:cos ∠CAD=因为∠CAD ∈(0,π), 所以∠CAD=在ΔABC中, 由余弦定理可得:cos ∠CAB=因为∠CAB ∈(0,π),所以∠CAB=,所以∠BAD=,又因为AB=AD=所以ΔABD为等腰三角形,BD= 2,设AC、BD交于点F,因为在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,所以AC ⊥BD,则AF=BF=DF=D′F=1,因为AC=4,所以CF= 3, 沿直线AC将ΔACD翻折成ΔACD′, 当三棱柱D′ -ABC体积取得最大值时,平面D′AC ⊥平面ABC,如图1 所示,建立空间直角坐标系,

图1

则A(0,0,0),B(1,1,0),C(0,4,0),D′(0,1,1),设三棱锥D′-ABC的外接球的球心为P(x,y,z), 由球心到球面上的距离相等可知:解得球心坐标P(-1,2,-1).设该三棱锥的外接球的半径为R, 所以三棱锥D′ - ABC外接球的半径为所以该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=24π.

图2

方法二(坐标法)易知当三棱锥的体积取得最大时,必有面ABC⊥面ACD, 作BO⊥AC垂足为O,连接OD,则可证DO⊥面ABC, 结合余弦定理可得AO=BO=DO= 1,CO= 3, 以O为原点建立如图2 所示的坐标系,则A(0,-1,0),B(1,0,0),C(0,3,0),D(0,0,1), 设该三棱锥的外接球球心坐标为P(x,y,z),半径为R,则根据球心到各个顶点的距离等于半径,由空间直角坐标系中两点间的距离公式得:x2+(y+1)2+z2=R2,(x-1)2+y2+z2=R2,x2+(y-3)2+z2=R2,x2+y2+(z-1)2=R2,联立解方程组得球心为P(-1,1,-1),R=√故该三棱锥的外接球表面积为S=4πR2=24π.

方法三(几何法)如图3 所示, 当三棱柱D′ - ABC体积取得最大值,则平面ACD⊥平面ABC.对于ΔABC,由余弦定理得cosB=

图3

如图4 所示,分别过ΔABC、ΔDAC的外心O1、O2作所在面的垂线,由前面的分析可知,两垂线必交于一点O,且O为三棱锥V -ABC的外接球球心,取AC的中点,连接PO1、PO2、AO1、AO2、AO,易证四边形PO1OO2为矩形.

设ΔABC和ΔDAC的外接圆半径分别为r1、r2,AC=l,三棱锥D-ABC外接球的半径为R.

图4

即R=所以S=4πR2=24π.

评析与球相关的题目侧重考查学生的空间想象能力,对作图能力要求较高,学生要有较强的几何作图能力;以截面问题为主,需选择恰当的截面解决问题,考查平面化的方法,考查化归与转化能力;以表面积的计算为主,考查运算求解能力.

二、通法研究

球相关的切、接的最值问题是立体几何的一个重点、难点,也是高考和高中数学竞赛中考查的一个热点.其求解策略主要有以下三种:

1.转化为函数最值问题.通过引入线参数或角参数,建立关于这些参变量的函数关系,转化为函数的最值问题来解决.

2.转化为平面几何问题.根据题目的特征,寻找或确定一个数量关系比较集中的平面,将题目的其他条件逐步向该平面转移,然后利用几何方法或三角方法来解决.

3.利用重要不等式.可通过引入多个变量建立数学模型,然后利用均值不等式或柯西不等式求其最值.

下面通过例题来探究这类问题的求解策略.

类型一:球的内接三棱锥的底定高动

此类问题转化为求球的内接三棱锥的高的最大值.如上述的2020年广东省佛山市高中毕业班第一次教学质量检测理科数学第16 题, 底面ΔABC一定, 要使得三棱柱D′ -ABC体积取得最大值,则平面ACD⊥平面ABC时,也即是高最大.

例1(2014年天津市高中数学预赛试题)在四面体ABCD内部有一点O,满足OA=OB=OC=4,OD=1.求四面体ABCD体积的最大值.

解析当A,B,C三点固定时, 要使四面体的体积最大, 由于点D在以O为球心, 1 为半径的球面上运动, 故当DO⊥平面ABC时, 四面体ABCD的体积最大.过点O作OO1⊥平面ABC, 垂足为O1, 设OO1=x.则点D到平面ABC的距离为1+x.因为O1A=O1B=所以SΔABC≤(16- x2).从而(16-x2)(1+x),x ∈(0,4).

令f(x)= (16- x2)(1 +x),x ∈(0,4).则f′(x)=-3x2-2x+16 =-(3x+8)(x-2),x ∈(0,4).所以f(x)在区间(0,2)上递增,在区间(2,4)上递减.因此[f(x)]max=f(2)=36.所以(VD-ABC)max=故VD-ABC的最大值为

说明在半径为R的圆内接三角形中,以正三角形面积为最大,且最大面积为

类型二:球的内接三棱锥的底动高定

此类问题转化为求球的内接三棱锥的底面三角形的面积的最大值,进而转化为求圆内接三角形的面积的最大值.

例2(2020年唐山市模拟)ΔABC的三个顶点在球O的一个截面上,在ΔABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B= 60◦,a+2c= 3,点P在球面上,且点P到平面ABC的距离为12,则三棱锥P -ABC的体积的最大值是____.

解析由三角形的面积公式及均值不等式,得当且仅当时成立, 所以ΔABC的面积的最大值为三棱锥P - ABC的体积的最大值是

类型三:球的内接三棱锥的底动高动

此类问题转化为求球的内接三棱锥的底面三角形的面积的最大值和相应高的最大值.这时,要注意到底面三角形的面积取得最大值的同时,相应的高取得最大值.分如下两种情况:

1.先用几何的方法确定高何时最大,然后去算出此时的高的值,再去算底面三角形的面积的最大值.

2.过三棱锥的一条棱作对棱的垂面,转化为求对棱间的距离的最大值(两动异面直线间的距离的最大值).

例3(2015年天津市高中数学预赛试题)求半径为R的球内接正三棱锥的最大体积.

解析正三棱锥底面积和高是影响球内接正三棱锥体积变化的两个变量, 它们又都和正三棱锥底面三角形外接圆的半径相关.于是,引进底面三角形外接圆半径这一中间变量,利用它消去底面积和锥高中的一个, 把留下的那一个作为函数的自变量.

图5

如图5, 由射影定理, 得O1A2=PO1·O1S.若设正三棱锥的高PO1为h, 则OA2=h(2R-h).SΔABC=所以

例4(2019年武汉4 月调研)三棱锥A-BCD内接于半径为的球O中,AB=CD= 4,则三棱锥A-BCD的体积的最大值为( ).

解析满足条件的三棱锥A - BCD有无数个.为使棱AB,CD的长与三棱锥A-BCD的体积联系起来,可作平面PCD, 使棱AB⊥平面PCD, 垂足为P, 又作PH⊥CD,垂足为H.则总有VA-BCD=·SΔP CD·AB=

设AB,CD的中点分别为E,F,则OE⊥AB,OF⊥CD,如图6, 又因为线段PH是异面直线AB,CD的公垂线段, 所以PH≤EF≤OE+OF,当且仅当O,E,F三点共线,且P与E重合、H与F重合时,两个不等式的等号同时成立,从而

图6

于是(VA-BCD)max=故选C.

类型四:三棱锥的内切球最值

例5(2013年江西省高中数学预赛试题)若正三棱锥的内切球半径为1,则其体积的最小值为____.

解析设正三棱锥P -ABC的底面中心为O1, 则其内切球的球心O在PO1上.设AO1的延长线交BC于点D,则PD⊥BC,且球O与面ABC的切点E在PD上.现考虑截面PAD,如图7.

图7

设∠PDA= 2θ(0＜θ ＜),则O1D= cotθ,PO1=O1Dtan 2θ=,AD= 3O1D= 3 cotθ.从而, 正三角形ABC的边长为a=所以VP-ABC=· PO1==故当tan2θ=时,VP-ABC取得最小值为

说明本题通过引入角参数θ,将VP-ABC转化为三角函数的最值问题来解决.在求tan2θ(1-tan2θ)的最大值时,还可以应用二元均值不等式.