初等数学在数学考研题中的妙用

郑彭丹

(湖南省长沙市中南林业科技大学涉外学院 410004)

一、引言

函数是我们解决实际问题的重要工具，初等数学中我们讨论了一次函数和二次函数的定义、图像和性质等初等数学中的重要知识点.在大学阶段，我们深入地学习微积分这个工具，对函数的讨论也会使用更高级的微积分的工具来进行.那么往往我们的学习思路会固化，比方说对函数性态的讨论，我们马上会想到要去求函数的一阶导数和二阶导数，然后根据定理去判断.事实上，在考试如战场的硕士研究生入学考试当中，如果我们能快速的解出一道题，节约宝贵的时间，不按部就班的使用高等数学中的定理结论，而是另辟蹊径的使用一下初等数学中的方法，也未尝不可.下面我们举几个例子，主要看一下二次函数和一次函数在数学考研题中的妙用.

二、几道数学考研题

例1(2004数学二、三，4分)设f(x)=|x(1-x)|，则( ).

A.x=0是f(x)的极值点，但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点

B.x=0不是f(x)的极值点，但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点

C.x=0是f(x)的极值点，(0,0)是曲线y=f(x)的拐点

D.x=0不是f(x)的极值点，(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点

从而当-10,f(x)凹，当1>x>0时，f″(x)<0,f(x)凸，于是(0，0)为拐点.又f(0)=0,x≠0、1时，f(x)>0，从而x=0为极小值点，所以，x=0是极值点，(0，0)是曲线y=f(x)的拐点，故选C.

这道题考察的是分段函数的极值点和拐点情况，按照要求只需要讨论该函数在x=0处f′(x),f″(x)的符号即可.这道题的难点在于函数是一个以绝对值形式给出来的分段函数，求分段函数的导数增加了题目的难度.整个求解过程稍显繁琐，我们可以用二次函数图像快速的把这道题解出来.不……