数学思想方法在高中教学中的渗透研究

赵凌昆

【摘要】作为数学教育工作者，我们不仅要在课堂上将数学知识传授给学生，更要帮助学生掌握足够多的数学思想方法，引导他们用这些思想方法去观察问题，分析问题，并且解决生活中的实际问题.因此，在数学课堂上加强思想方法的渗透就变得尤为重要.下面笔者结合自己的实际教学经验，浅谈几点在高中教学中加强数学思想方法渗透的策略.

【关键词】数学思想方法;渗透;高中;教学

一、 在课前备课环节中渗透数学思想方法

我们在讲授课本上的数学知识时，可以向学生渗透数学思想方法，而要做到这点，就需要我们教师在备课环节中选择适当的教学策略将数学思想方法融入课堂.

比如，当我们在设计等差数列前n项求和公式这节课时，可以选用数列章节序言中的第一个案例（剧场安排座位）引入这堂课，也可以选用“阅兵方阵”这个案例，让学生尝试用数列的观点研究这个方阵，寻找队列人数与数列的关系，内化等差数列中首项、项数、公差的概念，引导学生将实际问题中的数量关系用抽象的数学符号进行描述，进一步培养学生观察的能力，和从实际问题中抽象出数学知识的能力.同时，我们要让学生自行提出问题进行研究，感受研究等差数列的前n项和并不是“心血来潮”，而是有据可依.在抛出具体的求固定区域内的总人数问题后，我们让学生自主探究，教师从代数和几何方面预设学生处理问题的几种方案，这其中就有“数形结合”思想的渗透，学生可能会想到将方阵进行“割补”，将不同项的和转化成相同项的和.处理完这个案例后，教师紧跟着抛出第二个问题，由学生自主探究如何解决一般情况下等差数列{an}的前n项和，并追问需要知道哪些基本量才可以求和，这背后也渗透着从特殊到一般的数学思想.学生在探究处理时，自然会对数列中的项进行配对再求和，这里就会对总项数是奇数还是偶数形成讨论，这里又渗透着分类讨论的数学思想.所以，一堂公式推导课，师生就共同挖掘了三种思想方法.要想达到这样的效果，就要求我们数学教师在课前备课时不仅要备好数学知识，也要善于挖掘隐藏在知识中的数学思想方法.

二、 在数学概念的建构中渗透数学思想方法

（一）使用类比法进行概念的教学

数学概念是学生学习数学的基础，是数学思维的核心.系统的概念教学是至关重要的.当新旧概念间有着密切的联系时，学生可通过类比的数学思想探索新概念中所具有的性质，即两者之间有很多相同或相近的性质，但是某些方面的差别还是存在的.因此，教师在教学过程中应对学生进行有效引导，使其掌握新旧概念间的区别和联系，从而达到触类旁通的效果.例如在苏教版必修四“三角函数”一章中，“正弦函数的图像与性质”与下一节“余弦函数的图像与性质”，在设计教案时，教师就可以采取类比的方法来设计.再比如“数列”章节中，等差数列与等比数列的定义、性质、公式等也可以通过类比法组织教学，这样，学生主动建构知识的积极性也会随之提高.

（二）使用数形结合的方法进行概念教学

我们知道，高中数学中的很多概念都比较抽象，学生接触这些抽象概念的时候，一般会感到枯燥，而利用数形结合的思想方法能够直观地引入概念，将抽象问题具体化.例如，“指数函数”这一节课的教学可以做如下设计：先让学生感受并列举生活中指数函数的实例，然后让学生尝试画指数函数，画图前，先将学生分成若干组，各组画不同底数的指数函数，画好后，让学生先观察自己组所画指数函数的一些性质，然后对比其他组的，找出其中共同的性质，再进行归纳总结.一堂抽象的函数新授课在数形结合的思想下就显得不那么抽象、枯燥了.

三、在数学解题的过程中渗透数学思想方法

（一）在审题中渗透数学思想方法

在解题时，教师要反复引导学生看到题目后先认真审题，弄清楚题目给了什么，要求什么，再找到相对应的解题思路.

例：设函数f（x）=（x-a）2ln x，a∈R，求实数a的取值范圍，使得对任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e2成立.

如果注意到可将定义域分解成（0，1]和（1，3e]，进而对ln x≤0和ln x>0进行讨论，就可以用“分离参数”来解决这道题：当x∈（0，1]时，ln x≤0，原不等式等价为（x-a）2ln x≤4e2 对任意a∈R恒成立;当x∈（1，3e]时，原不等式可转化为a≥x-2eln x，a≤x+2eln x，求出两个函数的最值即可.

（二）在探究解题思路的过程中渗透数学思想方法

教师在解题教学中应引导学生对问题的已知条件进行分析，明确要求的数学问题需要的条件，然后让学生自己研究，或小组讨论找到解决问题的方法.

例如，在处理解析几何中的点共线问题时，可以引导学生从以下几个方面证明点共线：（1）利用斜率相等，由kAB=kBC=kAC证明三点共线;（2）利用平面向量共线定理，验证是否存在实系数λ，满足AB=λBC;（3）求出直线AB的方程，代入点C的坐标进行验证;（4）计算|AB|，|BC|，|AC|，利用|AB|+|BC|=|AC|验证.

前两种方法体现了函数与方程的思想，方法三体现了数形结合的思想，最后一种方法又渗透了化归的思想.

（三）反思解题过程，总结提炼数学思想方法

同一个数学知识可能包含多种思想方法，不同的数学知识也可能包含相同的思想方法，要想理清这些知识、思想方法，课堂小结是一个重要的环节.在这个过程中，既能训练学生的思维逻辑，又能训练学生数学语言的表达能力和概括能力，使学生更好地掌握知识的脉络，建立清晰的知识网络，让学生充分体会数学的美感和价值.所以对每一节课的数学思想方法进行归纳、总结、提炼，甚至是升华，是培养学生思维的重要途径.一旦学生能够自行总结对数学问题的理解，那么学生的数学素养必然得到切实提升.

例：已知a>0，b>0，a+b=ab，求a+b的最小值.

学生最先想到的是使用基本不等式里最常用的技巧“常值1”的代换来处理该题，首先将条件等式两边同时除以ab，构造1a+1b=1，然后将目标函数乘以1a+1b，问题不变，但结构发生变化，构造出两个乘积为定值的正数，进而使用基本不等式求解.将问题变式：已知a>0，b>0，a+b+1=ab，求a+b的最小值.学生很明显发现增加常数项后，不能用“常值1”的代换处理了.这时就需要发现题目结构上的特点，条件与问题都出现了a+b这两个正数的和，那么如果利用ab≤a+b22将乘积ab不等转换为a+b，则条件变成关于a+b的二次不等式，进而求解.这里和、积的转换渗透着转化与化归的数学思想.原题和变式的切换中，教师要引导学生一步步对试题的结构认真分析，寻找突破口，从而找出适当的解法.乘胜追击，再提出变式：已知a>0，b>0，a+b+1=ab，求3a+b的最小值.学生发现和、积转换的方法也不适用了.教师可引导学生回归问题本质，以上各题均为双变量函数求最值问题，为何不能转化为我们熟悉的单变量函数求最值问题呢？此时，消元的思想应运而生.我们发现无论是增加常数项还是调整变量系数，只要提供双变量满足的等量关系式，无论题怎么变，消元法都能轻松解决，通性通法才是解题教学的精髓.从原题到变式，难度一点点上升，学生在教师的引导下，寻找试题间的区别、联系與规律，学会知识迁移，对数学思想方法的认识程度也随之不断提高，思维的灵活性得到加强，这是解题学习中重要的活动经验.

平时解题教学时，教师一定要引导学生分析试题的结构特征，从结构上寻找破题的思路，要引导学生整理解题的逻辑过程，以及解题过程中使用的数学思想方法，并且与之前遇到的类似问题做对比，进而上升到一个更高的解题境界，即用通性通法解决问题，因为掌握核心数学思想对学生解题能力的培养至关重要.

目前高中数学教学中，学生学习最大的困扰就在于数学知识比较分散，不易掌握.但是，过去的知识与当前的知识是存在某种“神秘”联系的，其实这种联系就是数学思想方法，这些思想方法就像是一座座连接数学知识的“桥梁”，架起整个高中数学的知识框架.教师做好以下几点，就能帮助学生架起这些“桥梁”：①善于总结，反复训练.学生对新知识、新思想的接受是有一个过程的，只有通过不断地重复学习才能在感性认知的基础上上升至理性认识，同时我们也要及时总结经验方法，使学生能高效率地掌握数学知识与思想方法.②因材施教，循序渐进.高中起始阶段，学生对数学知识的理解还很有限，思想方法又是对数学知识的进一步概括和总结，想要学生一开始就掌握很多思想方法是不可能的，这就需要我们实行循序渐进、螺旋上升的教学原则，紧扣书本上的知识，用学生熟悉的问题背景创设教学情境，慢慢渗透数学知识与思想方法.③深入分析，系统概括.数学教学离不开解题教学，解题教学表面上是解决某一道数学题目，实际背后是解决一连串的数学问题.在解决问题的过程中，要不断分析、探索问题中的隐含条件，挖掘题目背后的源知识，将各知识模块系统地整合在一起，将各思想方法有效地串联在一起，从而使学生认清本源，系统学习数学知识.④激发内驱力，提升学习兴趣.众所周知，“兴趣是最好的老师”.教师在做教学设计时，可以将数学文化渗透到课堂教学中来，并设计一些有趣的教学活动，提高学生的参与热情.

在数学科学大发展的背景下，数学思想方法的教学意义显得尤为突出，教师要适时地引导学生发现和掌握隐藏在数学课本内容背后的数学思想方法，这样才能优化学生的思维品质，提高学生的思维能力，培养学生的创新精神和实践能力，学生才能真正了解数学的魅力，形成科学的数学观和世界观，最终促进其整体核心素养的提升.而数学思想方法的渗透是一个长期的持续的过程，教师要在平时多渗透数学思想方法，将其落实到每一个教学环节中去，使学生在解决数学问题时会不自觉地考虑到思想方法，并能合理地运用思想方法分析问题、解决问题，如此坚持下去，我们的数学教育才能真正落实立德树人的根本任务.

【参考文献】

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