浅谈“量变与质变”

范志国

(辽宁省盘锦市盘山县教师进修学校 辽宁 盘锦 124107)

数学史上最早使用“量变引起质变”方法解决数学问题的当属我国魏晋时期的数学家刘徽，他在注《九章算术》中采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的方法计算圆周率，用刘徽自己的原话就是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”。他的思想后来又得到祖冲之的推进和发展，计算圆周率的近似值在世界上很长时间里处于领先地位。

刘徽从圆内接正六边形开始，让边数逐次加倍，逐个算出这些圆内接正多边形的面积，从而得到一系列逐渐递增的数值，来一步一步地逼近圆面积，最后求出圆周率的近似值。用规则图形面积替代非规则图形面积，使不可能变为可能，当量变的积累充分时就能实现，这就是“量变引起质变”，它是数学史上思想和方法的一次伟大飞跃。以后微积分的诞生，即把曲边形的面积微分成矩形面积之和也是运用了“量变引起质变”思想和方法。还有极限、导函数、双曲线的渐近线等都是“量变引起质变”思想方法的体现。在数学教学过程中教师一定要注重培养学生以“量变引起质变”的观点来看问题和解决问题，来提高学生的数学能力和素养。例如小学数学圆面积的推导是把圆分割成两个半圆，再把这两个半圆分割成数目相同的扇形，扇形数目越多越好也就是分割得越细越好，分割得越细，扇形的圆弧越接近直线，再……