三种版本教材中两步混合运算内容的比较

【摘 要】两步混合运算是同级混合运算及乘加、乘减式题的延伸，是进一步学习整数、小数及分数四则混合运算的基础。文章对人教版、苏教版、北师大版三种版本教材中两步混合运算的内容进行了详细的比较，得出其均注重通过融合现实情境让学生体会运算顺序，通过解决实际问题培养学生应用能力的相同点，但在知识编排的整体性与关联性、模型思想的关注程度及题组练习的编排上差异较大。基于此，研究者提出了注重整体教学、渗透模型思想及构建题组模块的教学建议。

【关键词】人教版;苏教版;北师大版;两步混合运算;教材比较

【作者简介】冯刚，一级教师，苏州工业园区教学能手，主要研究方向为小学数学教材及课程建构研究。

运算能力是学生应具备的一种关键能力，也是一种关键素养。运算能力的培养能促进学生对算理的理解，并寻求合理简洁的运算途径来解决问题。[1]两步混合运算是学生首次系统地总结运算顺序，也是后续进一步学习三步混合运算及小数、分数四则混合运算的关键环节和重要节点。为此，本文选取人民教育出版社（以下简称人教版）、江苏凤凰教育出版社（以下简称苏教版）及北京师范大学出版社（以下简称北师大版）三种版本（以下简称三版）教材，就其中两步混合运算的相关内容展开比较，在异同分析中发现各版本教材编排的优势所在，进而提出教学建议。

一、三版教材中两步混合运算内容的编排

笔者对三版教材中两步混合运算的相关内容进行了详细的分析，整理得到其编排情况，见表1。

由表1可知，三版教材中两步混合运算内容的编排在年级安排上有较大差异，相关内容及课时的安排也稍有不同。苏教版与北师大版教材的编排内容与编排顺序均比较一致，第一课时是乘法和加减法的混合运算，第二课时是除法和加减法的混合运算，第三课时是带括号的混合运算。人教版教材的编排则差异较大，第一课时是同级混合运算，第二课时是乘除法和加减法的混合运算，第三课时是带括号的混合运算，第四课时是列综合算式解决实际问题。

二、三版教材中两步混合运算内容编排的相同点

两步混合运算的教学重点是学生能在理解运算顺序合理性的基础上按照运算顺序正确计算，难点是学生要初步学会列综合算式解决实际问题。三版教材的编排均在重难点的突破上下足了功夫，存在着一些共性。

（一）融合现实情境，体会运算顺序

运算顺序是伴随着人类长期的实践与计算活动而形成的一种规定，其合理性源自运算自身的层级性特点，如乘法是几个相同的数相加的简便运算，算式中既有乘法又有加法时，自然应先算乘法，这是避繁趋简的理性选择[2]。但这样的解释对学生而言过于抽象，学生理解存在困难。史宁中教授曾指出，小学阶段中，数学学科所有的规定都是从现实世界中抽象出来的，所有混合运算都是在讲述两个或两个以上的故事，可能是大故事包含小故事，也可能是几个故事并列[3]。因此，三版教材基于学生的生活经验和认知基础，创设了与运算顺序相匹配的学生熟悉的生活情境，引导学生通过实际问题中的事理和数量关系体会运算顺序的合理性。

人教版教材先创设跷跷板乐园的情境，让学生在求人数的过程中感悟运算顺序，再创设烤面包情境，让学生巩固对运算顺序的理解。苏教版教材以文具店购物情境贯穿整个单元教学，依托“一共用去多少元”“一共应付多少元”“还可以买几本笔记本”三个问题串联两步混合运算的教学。北师大版教材创设了与苏教版类似的购物情境，也采用“应找回多少元”“一共需要多少元”这样的问题引导学生思考，还创设了坐船过河的情境引导学生理解含有小括号的两步混合运算的运算顺序。

（二）解决实际问题，培养应用能力

新课程改革以来，单纯的计算题教学及应用题教学已经取消，数的運算教学与解决问题教学的融合是新课程改革所倡导的理念。换言之，学生在运算技能形成的同时，问题解决能力也得以提升，而在解决实际问题的过程中运算能力又得以发展，两者相辅相成。三版教材均遵循了新课程改革理念，将实际问题作为教学运算顺序的载体，引导学生经历分步算式合并成综合算式的过程，并在列综合算式的过程中提高问题解决的能力，感受综合算式在解决实际问题中的应用价值。

与苏教版和北师大版教材相比，人教版教材单独编排一课时教学列综合算式解决实际问题，引导学生思考解题步骤并将分步算式合并为综合算式，体现了对学生列综合算式能力的重视，这对学生问题解决能力的提升有很大的推动作用。

三、三版教材中两步混合运算内容编排的不同点

三版教材中两步混合运算内容的编排既有共性，也有个性，主要表现如下。

（一）知识编排的整体性与关联性不同

不含括号的两步运算式主要分为两类：一类是同级运算两步式，如连加连减、加减混合、连乘连除、乘除混合;另一类是两级运算两步式，如乘加乘减、除加除减。其中加减混合、乘除混合、乘加乘减及除加除减均含有两种运算，因此又称为混合运算。由此可知，两步混合运算主要包括同级混合运算（加减混合、乘除混合）和两级混合运算（乘除法和加减法混合）。“混合运算”作为两步混合运算的起始单元，若教师能完整地进行混合运算的教学，帮助学生完整建构两步混合运算的知识体系，学生便能进行整体性、关联性的学习，学习将会更加结构化、系统化。然而，三版教材的编排存在较大差异。

由表1可知，人教版教材对于两步混合运算的内容是按照同级运算、乘除法和加减法混合运算、带括号的混合运算、列综合算式解决实际问题这样的思路来编排的，体现了整体化和结构化。人教版教材在例1中编排了同级混合运算，引导学生掌握递等式计算的格式并总结同级混合运算的运算顺序。学生在一年级时便对加减混合这样的同级混合运算顺序有所感知，以此类推乘除混合运算顺序显得水到渠成。因此，教师可以将重点转至递等式格式的教学上。在学生已经掌握递等式书写格式要求的基础上，例2的乘除法和加减法混合运算及例3的带括号的混合运算的教学重心自然转向运算顺序的总结和迁移上。基于前面的学习基础，例4的列综合算式解决实际问题则可以将重心转向如何分析题意列出综合算式，更好地提升学生问题解决的能力。由此发现，这样的编排层次分明、目的清晰，有助于学生在迁移类推中感受知识的关联性，实现知识的整体建构，促进学生高阶思维的发展。苏教版教材在本单元中并未编排同级混合运算的内容，而是将其前置于二年级上册中，时间间隔太长以至于学生较难完整建构混合运算知识体系。此外，苏教版教材虽在二年级上册编排了乘加、乘减两步混合运算，但由于算式中乘法始终在前，因此总结的运算顺序为从左往右依次计算，反而为本单元的教学带来了负迁移，阻碍学生对两级混合运算顺序的正确建构。北师大版教材将加减混合运算的内容前置于二年级上册中，并未编排乘除混合运算的内容，不利于学生对知识的整体建构与迁移类推。

（二）对模型思想的关注程度不同

模型思想是小学生必备的核心素养与关键能力，能帮助学生体会及理解数学与生活的联系，其形成过程主要经历三个阶段：一是从生活中抽象出数学问题，二是以数学符号表征问题中的数量关系和变化规律，三是求出结果并讨论结果的意义。三版教材的编排均关注到了模型思想的渗透，但在关注程度上有很大不同。

正如前文所言，三版教材均注重引导学生解决现实情境中的实际问题，让学生经历数学抽象、符号表征、求出结果的过程。由此可见，三版教材均在帮助学生建立模型思想，构建两步混合运算模型。但模型思想的建立还有很关键的一个步骤，即讨论结果的意义。结果的意义一方面体现在所解决的问题中，另一方面在于如何体现于一般问题情境中，即运算模型的一般化与生活化。苏教版与人教版教材并未体现一般化与生活化的过程，北师大版教材则比较注重这方面的应用。北师大版教材在例题及习题的编排中，多次设计了类似“用（70-46）÷8还能解决什么问题”“结合情境说说下面算式表示的意思”这样的问题。这种逆向提问的设计，让学生结合情境说出综合算式表示的意思，使得抽象的符号还原为具象的情境，让学生能够深入理解所建立的两步混合运算算式模型的一般化意义。通过这样的方式，在突破教学重难点的同时也帮助学生建立模型思想，有助于学生用数学的语言表达现实世界。

（三）题组练习的编排有明显差异

如何帮助学生将混合运算的运算顺序组织成相对完整的认知结构，以便学生能够及时提取并正确应用，显然题组练习是一个较好的途径。题组练习可视为通向理解的阶梯、突破难点的钥匙、数学建模的模具。正如陈永明教授所说，数学教学如果不搞题组，那就只好搞“题海”[4]。然而，三版教材在题组练习的编排上存在着显著的差异。

苏教版教材在每节课的课后练习及单元练习中均设计了题组练习，根据设计意图，将其分为三类。第一类重在引导学生在对比中感受不同的运算顺序会产生不同的运算结果，体会运算顺序的重要性，帮助学生进一步内化运算顺序。如同级与两级运算的对比：56÷7×8与56-7×8;运算符号在不同位置的对比：17×4+20与17+4×20;有无小括号的对比：90-40×2与（90-40）×2。第二类重在引导学生在对比中感受运算的特点，发展学生数感的同时提高其估算能力。如被减数相同的情况下减数与差的关系：90-38×2与90-38÷2。第三类重在引导学生在对比中感受运算性质，体会运用运算性质简化运算的过程，进一步提高学生的运算能力。如减法运算性质的运用：180-36-44与180-（36+44）;除法运算性质的运用：320÷4÷2与320÷（4×2）。人教版教材虽然也设计了题组练习，但是数量较少且仅仅编排了上述第三类及第一类中有无小括号的对比题型。北师大版教材则整个单元均未编排题组练习，缺少题组对比，不利于学生对运算顺序的内化。

四、教材比较的启示

基于上述对三版教材的分析与比较，笔者提出以下教学建议，以便教师优化教学设计，提高学生的数学核心素养。

（一）注重整体教学，迁移类推达成整体建构

郑毓信教授认为，数学的对象并非一个个孤立的模式，而是整体性的建构[5]。教师在教学中应关注知识的“生长点”与“延伸点”，注重知识的结构与体系，帮助学生感受数学的整体性。为此，教师可以将同级混合运算引入第一课时的教学中，给予学生完整建构知识体系的机会。同级混合运算是学生较早接触的混合运算，其运算顺序是学生容易理解的。教师应充分发挥同级混合运算的优势，并强化递等式的书写格式，让学生在反思交流中感受递等式计算与分步计算的异同点，体会递等式计算的价值，为后续两级混合运算及带括号混合运算顺序的探究和列综合算式解决实际问题打好基础。此外，教师应充分发挥学生的迁移类推能力，引导学生通过对先前所学知识进行迁移与类比推理，让学生自主建构新知，并结合实际情境解释、验证所得结果。正如建构主义理论所强调的，有效的数学学习要关注知識之间关系的联通，对知识之间的因果关系有正确的把握，要善于将有联系的知识或同一类知识组成模块，构建完整的知识体系。在知识的迁移类推中，学生发现了知识的前后关联，这样的学习才是有深度的学习，体现了“教育就是生长”的教育哲学思想。

（二）渗透模型思想，逆向提问助推能力提升

课程标准强调“四能”，即发现和提出问题的能力，分析和解决问题的能力。如前文所述，本单元教学的难点是列综合算式解决实际问题。一方面，长期的分步列式解答所形成的思维定式会干扰学生对综合算式的解答。另一方面，综合算式的解答需要学生对问题的结构和数量关系有宏观的把握，并能将解题思路与运算顺序有机结合，难度显而易见。对于如何更好地突破难点，北师大版教材中的逆向提问法为教师提供了思路。教师可以将抽象的综合算式意义一般化，转变为多样化的具象情境，使综合算式的模型印入学生的脑海中，便于学生自主创建更多的综合算式模型以解决实际问题。因此，教师在教学中除了可以采用依据问题列综合算式解决实际问题这样的常态化教学方式，还可以采用“联系情境说说这个算式表示的意思”“结合算式创编实际问题”这样的逆向提问教学设计。根据实际情境列综合算式，是生活化向数学化的转变，而根据综合算式想象实际情境，则是数学化向生活化的转变。生活与数学的双向互通，能够有效实现直观与抽象的相互交融，帮助学生建构综合算式模型，最终促成学生问题解决能力的提升。

（三）构建题组模块，对比分析实现深度理解

比较是学生学习数学的重要方式，通过比较，学生对数学知识的认知才能走向更深层次。在题型结构、数量关系、解题方法、数学思想上构建基于同一个数学模型的题组模块，引导学生进行对比分析，能够帮助学生对知识的深度理解与掌握。如前文所述，苏教版教材中提供了意图明确的三类题组练习，教师可以充分运用这三类题组练习，挖掘练习背后的设计意图，让隐性的数学规律结构化、可视化、算法化。同时，教师应进一步挖掘题组素材，引导学生基于现有题组续编练习，进而构建题组模块。学生自主构建题组模块的过程，既是内化知识的过程，也是运用知识的过程，最终实现对知识的深度理解。此外，题组模块的对象不仅仅局限于简单的混合运算算式中，还可以是多道混合运算实际问题。教师可以构建题型结构、数量关系相近的实际问题题组模块，让学生在解决问题后进一步尝试续编题组，在不断完善的题组模块中发现一般性规律，强化对解决问题过程的理解，培养和发展初步的数学建模意识与能力。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]南京东方数学教育科学研究所.义务教育教科书 数学教师教学用书 三年级下册[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2014.

[3]史宁中.基本概念与运算法则：小学数学教学中的核心问题[M].北京：高等教育出版社，2013.

[4]陈永明.在简约中寻求厚重[J].小学数学教师，2019（1）：47-49.

[5]郑毓信.数学教育改革十五诫[J].数学教育学报，2014（3）：1-7.

（责任编辑：罗小荧）