培养推理能力 提升数学素养

江苏苏州工业园区星澄学校 吴 铮

推理是学习数学必须具备的基本能力，而且是一种重要的数学思维，对学好数学有着重要影响。《义务教育数学课程标准（2011年版）》中提出了十个有关数学能力的核心词，其中就包括推理能力。新课标还指出，教师在每一个教学环节中，都应注重学生推理能力的培养。东北师范大学史宁中教授认为，数学具有一定的抽象性，但如果能够巧妙推理，就能使其模型化。由此可见，推理能力对数学学习至关重要。从定义上来看，推理是指以自我认知为前提，对还未发生的事件或取得的结果进行推导。推理的过程中运用了很多数学知识，如定理、公式等，这在很大程度上增强了推理结论的准确性。教师应引导学生在推理中运用对比、联想等方法，诱导学生产生灵感，激发学生的推理想象，进而提升学生的推理能力。推理大体分为两种，一种是合情推理，即学生按照自己的思维进行推导；另一种是演绎推理，即通过思维的形象化表达来验证数学结论。教师在推理教学时，应明确知识特点，同时结合学生学情展开推导教学，在这个过程中培养学生推理能力。

一、在问题情境中点燃推理猜想

心理学研究指出，以问题的形式进行教学有助于激发学生的推理意识。因此，教师在推理教学时，可以结合知识要点来创设问题情境，这样能让学生产生一定的认知冲突，激活学生的思维，使他们产生自主推理的欲望。

（一）借助悬念情境，引发推理猜想

在悬念情境的引导下，学生的推理方向更加明确，能获得更为直观的推理感受，对学生推导出数学结论起到了一定的作用，而且整个推理过程充分体现了学生探究主动性。

例如，在教学“三角形内角和”这一课时，教师可以在课程导入环节创设问题情境：“首先请大家在白纸上画一个三角形，然后用量角器分别量出三角形三个角的度数。你们只需要告诉我任意两个度数是多少，我就能猜出第三个度数，你们相信吗？我们试一试吧！”在教师的鼓动下，学生们都投入到了画三角形和量三角形的活动中。当测量结束，教师与学生开始了互动问答，学生轮流报出两个角的度数，教师都能很快“猜”出三角形第三个角的度数，准确率百分百。学生们对此十分惊奇，同时也提出了猜想：“一定有什么规律，不然老是不可能每次都答对。”有的学生猜测：“是不是三角形三个内角和加起来是一个固定的数，那么就能解释老师为什么知道第三个角的度数了。”还有学生提出了猜想结论：“刚才大家画的三角形内角和都是180度，这难道是三角形的共性？”

在这个案例中，教师在课程导入阶段创设了问题情境，吸引了学生的注意力，并通过问题激发了学生的认知冲突，学生很自然会产生推理猜想，而且会想办法验证猜想的正确性，这为学生们概念的掌握奠定了基础。

（二）借助冲突情境，引发推理猜想

在小学数学教学中，教师要善于为学生创设冲突情境，以此引发学生的推理猜想。

例如，在对“圆的周长”展开学习时，由于圆是曲线图形，和长方形、正方形、三角形等直线图形不同，这个时候学生就会有认知上的冲突。教师在开展教学时要将重点放在如何让学生对周长与直径的关系进行把握上。为了集中学生的注意力，让他们的主动探究意愿得到激发，可以创设这样的情境：“假如有一个圆形和一个正方形，圆的直径和正方形边长相同，让两只蜗牛分别绕着圆形和正方形爬行，谁可以先回到起点位置呢？”在学生进行自主交流学习前，先对他们进行引导：“正方形的周长和哪些因素有关系？圆的周长呢？”学生在进行讨论时，利用对折圆的方式来展开研究。

在对新知识进行学习时，学生是基于已有经验和知识来进行合情推理的。通过不断训练，学生便有了合理推理的能力，教师要在这一过程中做好引导工作，让学生养成合理推理的习惯，并将其应用到生活中去，进而拓展他们的推理能力。

二、在探究学习中培养推理能力

（一）在动手操作中培养推理能力

在小学数学教学中，实践操作是其中非常重要的环节，如果缺少了这一环节，对学生思维能力的培养将会大打折扣。因此，教师在教学实践中，既要关注学生的动手能力，也要引导学生对实验现象进行观察和思考，帮助学生养成抽象思维的意识。由于实践操作是学生亲身经历的，因而其中的思维过程他们也会更加深刻，这是非常有价值的推理经营。

例如，在教学“三角形的分类”这一课时，教师先可以以问题的形式来启发学生思考：“如果有一个三角形，它的两角之和等于第三个角，那么我能说这个三角形肯定是直角三角形吗？”起初，学生们对这个问题感到很迷惑，他们认为答案不应该这么绝对。对此，教师可以建议学生们运用量角器、拼接法等方式动手操作来进行推断。大家经过反复实践，发现这个结论是正确的。

这种实践操作与推理相结合的教学方法在三角形锐角、钝角的教学中同样适用，这样也能为学生创造更多实践机会，让学生对三角形更加熟悉。学生们对实践活动大都有很高的兴趣，因而更能够激发他们的猜想，学生为了验证猜想的正确与否，往往会展开分析和推断，这其实是一个思维升华的过程，在推断过程中，大脑会形成理性认知，无形中提升了学生的推理能力。

（二）在数学思考中培养推理能力

合情推理是学生从自我认知角度出发进行的推理活动，其依据是学生的直觉和经验，本质是学生的发现和猜想。合情推理具有很强的应用性，因为学生并没有掌握特别多的数学原理和概念，他们只能进行感性判断。为了提高合情推理的有效性，教师在教学过程中要注重学生的情感引导。

例如，在教学“乘数末尾有0的乘法”这一课时，教师可以设计一个开放性问题，在下面□里填空。

表面上来看，这道题并不难，但要想将解法都写出来却并不容易，能完整解答出来的学生并不多。教师可以先设计三个算式 “230×20= 34×50= 25×4= ”然后提出问题：（1）这三个算式有何共同之处，他们的乘数有什么特点？（2）如果两个数相乘得到的数最后两位是0，可能有哪些情况？针对教师提出的问题，学生仔细观察后得出了结论：第一个算式两个乘数最后一位都是0，第二个算式里只有一个乘数最后一位是0，第三个算式中乘数没有不为0的项。结合上述分析，学生们对“□□×□□=1600”进行了如下推理：如果两个乘数的最后一位都是0，答案有两种，分别是“40×40=1600”和“80×20=1600”；如果只有1个乘数的最后一位是0，那么答案只能是“50×32=1600”；如果两个乘数的最后一位都不是0，答案为“25×64=1600”。

这道题是让学生利用逆向思维，来对乘数末尾有0的乘法所具有的特征进行熟悉，同时能使他们思维的开放性和灵活性得到锻炼。

通过这样的教学方式让学生的感性经验得到了丰富，这和合情推理是非常相符的，并且与学生的认知规律相符，使他们的合情推理能力得到了培养。

三、在原有认知上推进推理深度

小学生的思维发育还没有完善，因而他们在推理中用到的方法多为合情推理，而且在合情推理中，对证明和反驳两种推理方法的使用十分频繁。其实，反驳与演绎推理有异曲同工之处，因为二者都包含了演绎元素。众所周知，要验证结论错误，只需要举出一个反例即可。小学生知识体系还没有完全搭建起来，而且心智也没有完全成熟，因此他们对“不严格”的理解并不十分深刻，教师应给予学生更耐心的指导，以保护他们的推理热情。其实，小学生的认知只要做到了“不严格的清楚”就可以了，这样的推理效果要比“严格的不清楚”要好很多。

例如，在教学“小数的意义”这一课时，教师可以先举出实例让学生对分数有所了解，比如十分之一米其实就是0.1米，十分之一元其实就是0.1元。然后在对学生的推理进行启发：百分之一米对应的是0.01米，百分之一元其实就是0.01元。由于教师已经进行了介绍和引导，学生们在演绎推理时都有了自己的观点。教师建议学生们对问题进行验证，某学生演绎推理的内容如下：3厘米等于0.03米，表示为分数是米，这说明0.03米与米相等，因而可以将0.03用分数表示出来；再者，2角5分其实是0.25元，表示为，这说明0.25可以表示为分数。通过这样的表述，演绎推理呈现出更强的逻辑性，学生不仅得出了正确的结论，也获得了推理成功的喜悦，提高了推理的信心。

综上所述，推理是小学数学学习的基本能力之一，教师在教学过程中可以通过创设问题情境、加强学生动手操作等方式来锻炼学生推理能力，进而提高学生推理有效性，最终全面提升学生数学核心素养。♪