构造相似三角形解题例谈

刘晓玲

【摘要】数学课是中学课程教育的核心课程，在整个初中乃至高中都十分重要.教育者应该注重培养学生的数学思维，引导学生在日常生活中养成良好的学习习惯，可以有效提高学生的解题质量及效率.本文以苏教版“相似三角形”为例，提升学生对相似三角形的认知，也能提升学生数学能力的培养.

【关键词】初中数学;构造相似三角形;解题方法

数学在日常生活中作用越来越明显，更加体现出数学的优势，教育者应该注重对学生数学思维和数学能力的培养[1-2].初中是中小学以及普高的过渡期，在一定程度上难度加大，不再是简单的四则运算，这也就更加体现出学习数学的重要性[3].相似三角形作为初中学习架构中关键性的一环，对于中考来说也是重要的考点和难点.因此，探究相似三角形的方法以及形成一定的数学知识的架构对于学生来说非常重要.

1 初中数学构造相似三角形学习方法

相似三角形是初中几何中的重要内容，常常与其他知识点结合，以综合题的形式呈现，变化很多，是中考中的常考题型.如果我们注重解题方法或基本解题模型，相信再遇到相似三角形的问题就迎刃而解了.下面就介绍一下相似三角形模型.

1.1 相似三角形中的 A字模型

例1 如，在△ABC中，AB=8cm，AC=16cm，其中，点P以2cm/s的速度从A点向B点运动，同时，点Q以3cm/s的速度从C点向A运动，一旦P或者Q点任意一点在t时间达到至B或者A时，另外一點也随之停止.如何用t表征代数式AP和AQ;时间t为多少时，△APQ∽△ABC.

解题思路 本题主要是考查相似三角形的判定定理，可以灵活变通，熟练掌握数学解题思路.

即：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似.

对于第一问来说，主要是采用速度公式求解;利用相似定理（∠PAQ=∠BAC），当APAB=AQAC时，则有△APQ∽△ABC，与之相对应的有：2t8=16-3t16

;当APAC=AQAB时，则有△APQ∽△ABC，与之相对应的有：2t16=16-3t8，利用相似性进行计算求解.

解题过程 （1）首先看点运动的方向，P点从A点出发，利用速度公式可以得到AP=2t;

而AQ的长度为未经过的长度，已知AC=16cm，则有AQ=16-3t.

（2）连接PQ，见图2.

因为∠PAQ=∠BAC，

所以当APAB=AQAC时，△APQ∽△ABC，此时2t8=16-3t16，解得t=167;

因为∠PAQ=∠BAC，

所以当APAC=AQAB

时，△APQ∽△ACB，此时2t16=16-3t8，解得t=4.

所以运动时间为167s或4s.

例2 如图3（a）和图3（b），在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=6，AD平分∠BAC，在Rt△ABC中的BC边上交于点D，此时过点D做CA边的平行线，在Rt△ABC中的AB

边上交于点E.此时，求DE的长，线段AD的中点为M，连接B、M两点，与DE于点F，将BM延长边AC于点G，求解EFDF的值.

解题思路 本题考查了相似三角形的判定，关键是能灵活运用.

（a）       （b）

解题过程

（1）因为AD平分∠BAC，∠BAC=60°，所以∠DAC=30°;

在Rt△ACD中，∠ACD=90°，∠DAC=30°，AC=6，所以CD=23，

在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=6，所以BC=63，

所以BD=BC-CD=43.

因为DE∥CA，所以△BDE∽△BCA，所以DECA=BDBC=23，所以DE=4.

（2）因为点M是线段AD的中点，所以DM=AM，

因为DE∥CA，所以△DFM∽△AGM，所以DFAG=DMAM，所以DF=AG，

因为DE∥CA，所以△BEF∽△BAG，

所以EFAG=BEBA=BDBC=23，

所以EFDF=23.

1.2 倍长中线模型构造三角形

例3 如图4，△ABC中，D为BC的中点，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于F，BE=AC，且BF=9，CF=6，那么AF的长度为.

解题思路 倍长中线是常见的辅助线，全等中相关的角的代换是解决类似题型的重点.在本题当中，将AD延长至G点，存在AD=DG，将B和G连接，利用三角形相似定理可以得到△ACD≌△GBD，则有AC=BG=BE，因此可以得到△AEF是等腰三角形，根据题中已有的线段数据进行等量关系的设计和计算.

解题过程 如图5：延长AD至G，使AD=DG，连接BG.

在△ACD和△GBD中：

CD=BD∠ADC=∠BDGAD=DG ，

所以△ACD≌△GBD，

所以∠CAD=∠G，AC=BG，

因为BE=AC，所以BE=BG，

所以∠G=∠BEG，

因为∠BEG=∠AEF，所以∠AEF=∠EAF，所以EF=AF，

所以AF+CF=BF-EF，

即AF+6=9-EF，

所以AF=32.

2 结语

总而言之，作为必考的重要科目，并非只靠几节课的短期学习就能够对三角形的相似相关概念掌握和运用，需要学生长期性的学习，探究学习方法，循序渐进，长久累积，可以对其做好有效的认知.通常求得相似三角形是解决生活实际问题的难点和关键点.在几何问题的求解过程中，与相似三角形进行有效地联合运用，妙用相似三角形来求解生活中以及学习中的难题，培养学生数学思维，促进教育的发展.

参考文献：

[1]刘永智.网格图中相似三角形的画法举例[J].数理化学习（初中版），2021（5）：43-44.

[2]王建林.中考相似三角形综合题探析[J].中学教学参考，2020（23）：11-12.

[3]路绪文.例谈相似三角形的应用[J].速读（下旬），2015（8）：78-78.