大概念引领下的数学解题教学

徐伟东 吕增锋

摘要：大概念引领下的数学解题教学以培养专家思维为终极目标，以数学概念的再认知为生长点，以鼓励提出问题为驱动力。其教学步骤一般包括多角度提取大概念、基于大概念创设问题情境、围绕大概念设计探究活动、在大概念应用中提升数学思维等。它不仅可以很好地克服传统数学解题教学存在的诸多弊端，而且可以有效地落实数学核心素养的培养。

关键词：高中数学；大概念；解题教学；数学探究；切线不等式

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本文系浙江省宁波市2021年教育科学规划重点课题“大概念视角下高中数学单元教学的研究”（编号：2021YZD079）的阶段性研究成果。

传统的数学解题教学一直饱受训练强度大、效果持续时间短、问题难度把握失控、过度依赖记忆与模仿等弊病的困扰。因此，重塑数学解题教学的理念、改进数学解题教学的方式是中学数学课程改革的重要任务之一。2017年版的普通高中课程方案和各学科课程标准首次提到“大概念”一词：在前言中指出，本次（相比于2003年的“实验稿”）学科课程标准“修订的主要内容和变化”其中一条是“重视以学科大概念为核心，使课程内容结构化，以主题为引领，使课程内容情境化，促進学科核心素养的落实”。这不仅在政策上确立了大概念在高中课程改革中的重要地位，而且暗含了大概念与核心素养的关系：大概念是一个多层次的体系（才能“使课程内容结构化”），核心素养是一种层次较高的大概念。因此，大概念是核心素养的载体，以大概念引领教学是落实核心素养的应然路径。大概念引领下的数学解题教学，能够起到补偏救弊、正本清源的作用。

一、大概念及其引领下的教学

大概念是一个以主体为中心的意义体世界。它是概念关系的集合体，兼具知识论意义、方法论意义与价值论意义，具有结构性、发展性、灵活性。同时，它起到了“组织者”的作用，以大概念为核心对知识进行解构与重组，可以形成一个囊括无数相互联系的小概念与大量相关事实、范例的知识体，从而促成人们对世界的深度理解、持久建构以及价值观念的形成。

大概念的“大”不是指“庞大”，而是指“核心”“高位”或“上位”，即学科领域中最精华、最有价值的核心内容。大概念一般表现为三种形式：“概念”“观念”与“论题”。［1］因此，数学中的核心概念、中心问题和主要思想方法也都属于大概念的范畴。例如，“函数”本身就是中学数学的核心概念，当然也是大概念；“函数是刻画客观世界变化规律的重要模型”，表达的是人们对函数功能与地位认知的一般“观念”，也可以看作大概念。

按照大概念所在的层级，从高到低依次分为：课程大概念、单元大概念、课时大概念。课程大概念处于顶尖位置，下面的两个“大概念”相对于它来说，就成了“小概念”或“次要概念”；同样，课时大概念相对于单元大概念来说，也是“小概念”“次要概念”。也就是说，大概念的“大”具有相对性，在每个层级中都有处于统摄地位的“大”概念。

大概念引领下的教学是以大概念为锚点组织教学的一种方式。具体地说，就是从学科知识体系和逻辑结构出发，提取大概念；然后，围绕大概念搭建核心观点框架；最后，将大概念细化为次级概念，成为课时教学的立意或主题，来统摄整节课的教学，从而实现提升学生能力与素养的目的。这样教学的优势在于引导学生超越对知识和技能的学习，走向那些超越时空和情境所存在的、可迁移的观点和思想，从而让学生对什么是数学、如何学习数学有一个深刻的认知。

二、大概念引领下的数学解题教学理念

（一）以培养专家思维为终极目标

传统的数学解题教学以让学生掌握更多的解题技巧为目的，这使传授现成的、有用的数学结论成为课堂教学的首要任务。很多教师为了提升学生的解题能力，更是热衷于传授各种巧法、妙法。例如，解圆锥曲线综合题，必然使用二级结论；讲导数问题，必然不离泰勒展开，等等。这些更高更妙的“专家结论”虽然能够在短时间内提升考试成绩，但并不能被学生真正理解与掌握，反而会造成学生数学学习的形式化、浅表化、碎片化。美国社会学家兰德尔·柯林斯就明确指出：“在工业时代，大部分工作对人的要求并不高，可以到岗位上现学现用，从而掩盖了‘学校教授专家结论的教育’是低效乃至无效的这一事实。”多元智能理论提出者加德纳认为，学生只有超越具体的事实和信息，理解学科思考世界的独特方式，未来才有可能像一个科学家、数学家、艺术家、历史学家一样去创造性地思维与行动。因此，大概念引领下数学解题教学的目标定位是让学生成为专家，像专家那样思考，即以大概念来组织与关联知识，形成结构化的认知体系，能根据任务需求提出解决问题的方案，熟练调用相关知识来解决问题。

（二）以数学概念的再认知为生长点

在传统的数学解题教学中，教师认为考试只考数学解题，不直接考数学概念。因此，很少会把时间花在对数学概念的理解上，最多以知识梳理的形式一笔带过；而把大量的时间花在解题、讲题、训练上，希望学生在有限的时间内掌握更多的解题技巧与方法。但事实上，数学概念才是数学的核心，解题充其量只是概念的衍生与应用；若没有数学概念作为基础，解题与解题教学就无从谈起。不仅如此，数学概念的复杂性和发展性决定了其需要经历认知、再认知的过程，因此，数学概念教学应该贯穿数学教学的始终：不仅要在概念课中认知数学概念，而且要在习题课中对数学概念进行再认知。基于上述认识，大概念引领下的数学解题教学是以数学核心概念为锚点对数学知识与思想方法进行精炼与整合，把对解题方法的学习与数学概念再认知的过程有机地融合在一起，即以深化数学概念的理解来引领解题的行为，帮助学生在认清数学概念本质的同时收获新的解题方法，从而在潜移默化中提升解题能力。

（三）以鼓励提出问题为驱动力

传统的数学解题教学基本上遵循的是“教师给出问题，学生解决问题，或师生共同解决问题”的套路。一个问题解决，教师马上又抛出新的问题，这样的过程不断被重复，学生很少有主动提出问题的机会。教师将大量的精力投入对现有问题的解决，“很少对有关数学问题的产生、表达以及知识获取的过程给予直接的关注”。事实上，提出问题比解决问题更重要，因为解题教学要针对的恰恰是学生存在的真实问题，而不是教师提供的现成问题。学生只有具备了与已有概念相对应的认知结构与思维形式，才会出现“为什么”“是什么”“怎么办”的想法，才会有提出问题的渴望；而这种渴望越强烈，越能激发学生解决问题的动机。在大概念引领下的数学解题教学中，教师不断地鼓励学生围绕大概念提出问题，学生全身心地投入问题的解决过程，形成“提出问题→解决问题→提出较高层次的问题→解决较高层次的问题→提出更高层次的问题→……”的解题教学新样态。

三、大概念引领下的数学解题教学步骤

（一）多角度提取大概念

大概念引领下的数学解题教学的第一步，就是提取大概念。因此，在明确解题教学的主题后，就需要对教学主题所涉及的数学概念、公式、定理、思想方法及其相互关系进行多视角的分析，进而提取该主题中的大概念。

“第三届国际数学及科学研究”（TIMSS）的结果表明，亚洲华人地区学生的数学成绩通常比较优异，但对数学学习的态度却相对负面。［5］造成这种现象的一个主要原因，张奠宙先生早已指出过，那就是“为了应付考试而整天做题”。而改变这种现象的一个有效方法，就是让传统的数学解题教学转向以大概念为引领的数学解题教学。

参考文献：

［1］刘徽.“大概念”视角下的单元整体教学构型——兼论素养导向的课堂变革［J］.教育研究，2020（6）：68.

［2］赵楠.大概念课程如何落地？——以加拿大不列颠哥伦比亚省的课程改革为例［J］.现代教育技术，2020（11）：42.

［3］张辉蓉.数学解题教学是非之争及思考［J］.中国教育学刊，2010（5）：42.

［4］刘徽，徐玲玲.大概念和大概念教学［J］.上海教育，2020（11）：3132.

［5］巩子坤，宋乃庆.数学教育研究中值得关注的问题——热点与反思［J］.数学教育学报，2008（1）：78.