基于APARCH模型对中美股市波动风险的研究

王伟杰 沈慈慈(通讯作者)

(淮北理工学院教育学院 安徽淮北 235000)

1 引言

中美两国是世界前两大经济体，在世界经济中具有举足轻重的作用。股市是经济的晴雨表，一个国家股市的良好有效发展，对该国整体经济的优化发展起到积极作用。本文以中美两国的股市为研究对象，选取代表中国股市的上证综合指数(Shanghai composite index，SSEC)与代表美国股市的纳斯达克指数(National Association of Securities Dealers Automated Quotations，NASDAQ)为研究对象，借助APARCH模型和VaR方法对中国股市和美国股市的波动性进行研究，并对两国的投资者在进行投资决策时提供必要的参考。

2 文献综述

M Benoit(1963)发现，时间序列的波动过程具有显著的波动聚集现象；Fama(1965)发现，股票的波动过程具有尖峰厚尾性；Engle(1982)提出自回归条件异方差(Autoregressive Conditional Hetero-Scedasticity，ARCH)模型；Bollerslev(1986)提出广义自回归条件异方差(Generalized Autoregressive Conditional Hetero-Scedasticity，GARCH)模型；Ding等(1993)提出非对称幂自回归条件异方差模型(Asymmetric Power Autoregressive Conditional Hetero-Scedasticity，APARCH模型)；G30集团(1993)首次提出用在险价值(Value at risk，VaR)度量证券市场的风险，摩根银行(1994)提出VaR的计算方法，并指出利用VaR度量证券市场的系统性风险。

玄海燕等(2021)运用双线性GARCH模型和VaR方法对汇率风险进行检测，结果显示双线性GARCH模型在t分布下比其他GARCH模型的拟合效果更好，可以提高VaR计算的准确性；赵兴等(2022)利用CEEMDAN-ARIMA-GARCH模型对国际原油价格进行预测，结果表明CEEMDANARIMA-GARCH模型在准确度和灵敏度上具有显著优势，其预测精度最高；徐伟民和肖坚(2022)采用GARCH-VaR模型测度中国碳金融交易价格风险水平，结果表明中国碳金融交易价格总体风险水平较高，上海和北京交易市场价格风险超过6个市场价格风险的平均水平，剩余4个市场低于6个市场平均价格风险水平；吴鑫育和张静(2022)将时变风险厌恶指数(RA)引入GARCH-MIDAS模型中，采用损失函数和MCS评价不同模型的样本外预测精度。实证结果表明RA对黄金期货市场波动具有显著的正向影响；相比其他模型，引入RA的GARCH-MIDAS-RA模型拥有更好的参数估计结果和预测结果；王孜(2022)利用上海证券交易所的数据构建GARCH模型，发现融资业务会平抑股票市场的波动，融券业务则会加剧股票市场的波动；熊政和车文刚(2022)根据各项准则构建ARIMA-GARCH-M模型，对股票的收盘价进行预测，利用递归思想对拟合曲线进行校正，进一步提高预测的准确率，并进行MAP、RMSE和EC检验，最后将ARIMA模型、ARIMA-GARCH模型和ARIMA-GARCH-M模型的检验结果进行比较。结果表明，通过递归校正的ARIMAGARCH-M模型在股票短期预测中有着良好的效果，具有一定的可行性；蔡斌坚(2022)使用2015年8月11日—2022年11月30日人民币兑美元汇率的日交易中间价数据进行研究，结果显示汇率存在杠杆效应，使用最佳拟合效果的EGARCH(1，2)模型对汇率序列进行回测分析，并提出相关建议；熊靖波和张晓磊(2022)以2019年1月2日—2021年4月30日中国上证综合指数和美国纳斯达克指数的日度数据为基础，用DCCGARCH模型对新冠疫情冲击下的两国股市的动态相关性进行研究。结果发现，新冠疫情蔓延对两国股市冲击巨大，导致股市相关性程度上下急剧波动，但两国股市相关性始终为正，表明新冠疫情对两国市场产生同步影响。

3 理论分析

波动率的大小代表证券市场风险的高低，虽然波动率的大小不能被直接度量，但是可以选择金融资产的收益率替代波动率来研究股市风险。Bollerslev(1986)在ARCH模型的基础上提出GARCH模型，GARCH(m，s)模型的数学表达式为：

式(1)(2)中：a0＞0，ai≥0，βi≥0；当i＞m时，βj=0。

Ding等(1993)提出APARCH模型，APARCH(m，s)模型的数学表达式为：

式(3)(4)中：µt为条件平均值；δ大于0；D(0,1)为标准正态分布；系数ω、αiγi和βj满足一定的正则性条件，使得波动率大于0。

在险价值(Value at risk，VaR)是金融市场中应用最广泛的风险度量方法，是指在证券市场正常波动的情况下，在给定了置信水平α和持有时间tΔ 内，投资组合P预期的最大损失，数学表达式为：

式(5)中：PΔ 为投资组合P在持有时间tΔ 内的损失。

4 统计学分析

本文选取中国股市的上证综合指数(SSEC)与美国股市纳斯达克指数(NASDAQ)的日对数收益率序列数据作为研究样本，其中SSEC选取的时间段为2000年1月4日—2023年6月30日，共包含5692个样本数据；NASDAQ选取的时间段为2000年1月3日—2023年6月30日，共含有5912个样本数据，本文的数据均来自同花顺，所有实证结果均使用R软件得到。

中国股市收益率波动呈现波动聚集现象，低波动周期持续的时间长，高波动周期持续的时间短，序列在平均收益的上下两侧进行波动，且方差值具有时变性。SSEC和NASDAQ存在相似的变化趋势，NASDAQ的波动幅度比SSEC的波动幅度更剧烈，表明美国股市的风险高于中国股市的风险，如图1所示。

图1 SSEC和NASDAQ对数收益率序列的时序图

由图2可知，SSEC和NASDAQ序列的Q-Q图与正态分布的Q-Q图不重合，表明SSEC和NASDAQ的收益率序列是偏向非正态分布的。

图2 SSEC与NASDAQ的日对数收益率的Q-Q图

上证综指(SSEC)和纳斯达克(NASDAQ)的平均收益率分别为0.014419、0. 000214；标准差分别为1.497660、0. 015952；最高收益率记录分别为9.400787、0. 132546；最低收益率分别为-9.256154、-0. 131492；偏度分别为-0.0379141、-0. 126644；峰度分别为5.283930、6. 084743；贾克-贝拉统计量分别为6763，9141.2；P值均小于2.2e-16。

两序列的均值接近于0，且均为正值，即其序列的波动方向一致。SSEC的标准差大于NASDAQ的标准差，即SSEC比NASDAQ的波动幅度大。从偏度值和峰度值可以看出，SSEC和NASDAQ的存在左偏现象和尖峰厚尾现象，本文使用ADF检验两序列的平稳性。

SSEC和NA SDAQ收益率序列的ADF检验显示，上证综指、纳斯达克ADF增强型迪基-富勒检验值分别为-16.165、-17.573，两个序列都是平稳的；滞后阶数(Log order)分别为17、18；P值(p-value)均为0.01，确认序列的平稳性。

本文使用自相关函数(Autocorrelation Function，ACF)和偏自相关性函数(Partial Autocorrelation Function，PACF)对SSEC和NASDAQ的收益率序列的自相关性和偏自相关性进行分析。

由图3和图4可知，SSEC和NASDAQ的收益率序列的相关系数除了几个滞后项不在95%的置信区间内外，其余滞后项均在95%的置信区间内上下浮动，即SSEC和NASDAQ的收益率序列无明显的前后相关性，也无明显的偏自相关性，可基于APARCH模型进行实证分析。

图3 SSEC的收益率序列的ACF图和PACF图

图4 NASDAQ的收益率序列的ACF图和PACF图

SSEC和NASDAQ收益率序列的J-B统计量检验结果显示，上证综指、纳斯达克J-B统计量分别为67.802，121.14；p-value分别为4.415e-07、2.22e-16。

由此可见，两序列存在ARCH效应，因此SSEC和NASDAQ可建立APARCH模型分析其波动性特征。

5 实证分析及其结论

本文在高斯分布和GED分布下基于APARCH(1，1)模型对SSEC和NASDAQ的收益率序列进行实证分析，实证结果如表1所示。

表1 SSEC收益率序列的APARCH(1,1)模型的系数

由表1可知，在GED分布下，序列满足APARCH(1，1)模型的假设条件，且参数ω和α1γ1β1的估计值均大于0，在统计意义上是高度显著的，因此可以很好地拟合SSEC的收益率序列。

在高斯分布假设下，模型的赤池信息准则(AIC)值为3. 341704；贝叶斯信息准则(BIC)值为3. 348713；施瓦茨信息准则(SIC)与AIC值相同，为3. 341702；汉南-奎因信息准则(HQIC)值为3.344144。在GED分布(广义误差分布)假设下，AIC值为3.262934，BIC值为3.271111，SIC值为3.262931，HQIC值为3.265781。

SSEC序列在高斯分布下的各值大于在GED分布下的各值，所以在GED分布下参数的估计值可作为最优的数据模型(见表2)。

表2 NASDAQ收益率序列在高斯分布和GED分布下的APARCH(1,1)模型的系数

APARCH(1，1)模型描述了NASDAQ的收益率序列的非对称性，消除了方程的异方差效应，无论是在高斯分布下还是在GED分布下，参数ω和α1γ1β1的估计值均大于0，在统计意义上是高度显著的，因此可以很好地拟合NASDAQ的收益率序列。

在高斯分布假设下，模型的赤池信息准则(AIC)值为3. 254124；贝叶斯信息准则(BIC)值为3. 260910；施瓦茨信息准则(SIC)值为3. 254122；汉南-奎因信息准则(HQIC)值为3.256483。在GED分布(广义误差分布)假设下，AIC值为3.233808，BIC值为3.241725，SIC值为3.233805，HQIC值为3.236560。

NASDAQ收益率序列基于APARCH(1，1)模型的各值大于在GED分布下的各值，所以在GED分布下参数的估计值可作为最优的数据模型。本文基于APARCH模型计算出SSEC和NASDAQ超前一步的均值和波动率，并分别计算出在置信水平为99%，99.9%和99.99%的接下来一个交易日的VaR值。

在正态分布(norm)假设下，上证综指的一步均值预测为0.0130488，纳斯达克为0.0264795。在广义误差分布(ged)假设下，上证综指的一步均值预测为0.0421737，纳斯达克为0.062526。在正态分布假设下，上证综指的预测误差为0.9007841，纳斯达克的预测误差为0.952448。在广义误差分布假设下，上证综指的预测误差为0.899533，纳斯达克的预测误差为0.939640。

(1)置信水平99%：在正态分布假设(norm)下，上证综指的VaR值为2.108586，纳斯达克为2.242204。在广义误差分布假设(ged)下，上证综指的VaR值为6.264795，纳斯达克为6.562585。

(2)置信水平99.9%：在正态分布假设下，上证综指的VaR值为2.796681，纳斯达克为2.969764。在广义误差分布假设下，上证综指的VaR值为19.881710，纳斯达克为20.786617。

(3)置信水平99.99%：在正态分布假设下，上证综指的VaR值为3.363080，纳斯达克为3.568649。在广义误差分布假设下，上证综指的VaR值为62.508831，纳斯达克为65.314287。

根据上述分析，可得出以下结论：

第一，两序列在同一种分布下时，VaR随置信水平的提升而增加，所以投资者在投资决策时，如果参考了较低置信水平下的风险价值，结果就会比较保守，可以有效地规避风险；如果参考了较高置信水平下的风险价值，结果就会比较激进，可以获得高收益。

第二，在相同的置信水平和分布下，SSEC预测的超前一步的VaR低于NASDAQ预测的超前一步的VaR，说明中国股市相较美国股市风险更低。

第三，利用SSEC和NASDAQ序列基于APARCH模型在高斯分布下得到的预测值普遍低于在GED分布下得到的预测值，且随着置信水平逐步提升，在GED分布下可以更好地展现收益率序列的尖峰厚尾性。